《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

9. 学习了有理数的乘法后,老师给同学们布置了这样一道题目：计算$49\frac{24}{25}×(-5)$,看谁算得又快又对。
有两位同学的解法如下：
小明：$49\frac{24}{25}×(-5)= -\frac{1249}{25}×5= -\frac{1249}{5}= -249\frac{4}{5}$。
小军：$49\frac{24}{25}×(-5)= (49+\frac{24}{25})×(-5)= 49×(-5)+\frac{24}{25}×(-5)= -249\frac{4}{5}$。
(1) 对于以上两种解法,你认为谁的解法较好？
(2) 上面的解法对你有何启发,你认为还有更好的方法吗？如果有,请把它写出来；
(3) 用你认为最合适的方法计算$19\frac{15}{16}×(-8)$。

答案：
(1) 小军的解法较好。
(2) 有更好的方法，解法如下：
$49\frac{24}{25} × (-5)$
$=(50 - \frac{1}{25}) × (-5)$
$= 50 × (-5) - \frac{1}{25} × (-5)$
$= -250 + \frac{1}{5}$
$= -249\frac{4}{5}$
(3)
$19\frac{15}{16} × (-8)$
$=(20 - \frac{1}{16}) × (-8)$
$=20×(-8)-\frac{1}{16}×(-8)$
$=-160 + \frac{1}{2}$
$=-159\frac{1}{2}$

10. 已知$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}= \frac{1}{3}$,$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}= \frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}= \frac{1}{5}$,…,$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{n}{n + 1}= \frac{1}{n + 1}$。试根据以上规律,解答问题：
(1) 计算：$(\frac{1}{2}-1)×(\frac{1}{3}-1)×(\frac{1}{4}-1)×…×(\frac{1}{100}-1)$；
(2) 将$2025减去它的\frac{1}{2}$,再减去余下的$\frac{1}{3}$,接着减去余下的$\frac{1}{4}$,再减去余下的$\frac{1}{5}$……以此类推,直到减去余下的$\frac{1}{2025}$,最后的结果是多少？

答案：
(1)
首先，将每个括号内的式子进行化简：
$\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$，
$\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$，
$\cdots$
$\frac{1}{100}-1=-\frac{99}{100}$，
则原式$(-\frac{1}{2})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{4})×\cdots×(-\frac{99}{100})$
$=-(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\cdots×\frac{99}{100})$
根据已知规律$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\cdots×\frac{n}{n + 1}=\frac{1}{n + 1}$，这里$n = 99$，所以
原式$=-\frac{1}{100}$
(2)
第一次减去它的$\frac{1}{2}$，剩下$2025×(1 - \frac{1}{2})=2025×\frac{1}{2}$；
第二次减去余下的$\frac{1}{3}$，剩下$2025×\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{3})=2025×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$；
第三次减去余下的$\frac{1}{4}$，剩下$2025×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×(1 - \frac{1}{4})=2025×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$；
$\cdots$
直到减去余下的$\frac{1}{2025}$，剩下$2025×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\cdots×\frac{2024}{2025}$
根据已知规律$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\cdots×\frac{n}{n + 1}=\frac{1}{n + 1}$，这里$n = 2024$，所以
$2025×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\cdots×\frac{2024}{2025}=2025×\frac{1}{2025}=1$
综上，答案依次为：
(1)$-\frac{1}{100}$；
(2)$1$。

11. 已知$x$,$y$为有理数,规定一种新的运算※,$x※y = xy + 1$。
(1) 求$2※4$的值；
(2) 求$(1※4)※0$的值；
(3) 任意选取两个有理数(至少有一个为负数)分别填入$□※○与○※□的□与○$内,并比较两个运算结果,你能发现什么规律？
(4) 设$a$,$b$,$c$为有理数,讨论$a※(b + c)与a※b + a※c$的关系,并用式子把它表示出来。

答案：
(1)
根据$x※y = xy + 1$，将$x = 2$，$y = 4$代入可得：
$2※4=2×4 + 1=9$
(2)
先计算$1※4$：
$1※4=1×4 + 1 = 5$
再计算$(1※4)※0$，即$5※0$：
$5※0=5×0+1 = 1$
(3)
选取$2$和$-3$，则$2※(-3)=2×(-3)+1=-5$，$(-3)※2=(-3)×2 + 1=-5$
规律：$□※○ = ○※□$（互换两个有理数的位置进行新定义运算，结果相等）
(4)
$a※(b + c)=a(b + c)+1=ab+ac + 1$
$a※b + a※c=(ab + 1)+(ac + 1)=ab+ac+2$
所以$a※(b + c)=a※b + a※c-1$