《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

8. 已知 $ a - b = 3ab $（$ a \neq 0 $，$ b \neq 0 $），则 $ \frac{a - b + 2ab}{4a - 4b + 3ab} $ 的值是( )

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ \frac{1}{5} $
D.$ \frac{5}{9} $

答案： A

9. (1)若 $ a^2 + a - 1 = 0 $，则 $ 2a^2 + 2a + 47 = $ ；
(2)若 $ 2x^2 - 3x - 4 = 5 $，求 $ x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} $ 的值；
(3)当 $ x = 2 $，$ y = - 4 $ 时，多项式 $ ax^3 + \frac{1}{2}by + 5 = 1017 $，求当 $ x = - 4 $，$ y = - \frac{1}{2} $ 时，多项式 $ 3ax - 24by^3 + 2 $ 的值。

答案：
(1)
由$a^{2}+a - 1 = 0$，可得$a^{2}+a=1$。
则$2a^{2}+2a + 47=2(a^{2}+a)+47$。
把$a^{2}+a = 1$代入上式得：$2×1+47=49$。
(2)
由$2x^{2}-3x - 4 = 5$，可得$2x^{2}-3x=9$，两边同时除以$2$得$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{9}{2}$。
则$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=5$。
(3)
当$x = 2$，$y = - 4$时，$ax^{3}+\frac{1}{2}by + 5 = 1017$，即$8a-2b+5 = 1017$，化简可得$8a-2b=1012$，两边同时除以$2$得$4a - b = 506$。
当$x = - 4$，$y = -\frac{1}{2}$时，
$3ax-24by^{3}+2=-12a + 3b+2=-3(4a - b)+2$。
把$4a - b = 506$代入上式得：$-3×506+2=-1518 + 2=-1516$。
综上，答案依次为：
(1)$49$；
(2)$5$；
(3)$-1516$。

10. 李叔叔买了一套新房，他准备将地面全部铺上地板砖，这套新房的平面图如图所示(单位：m)。请解答下列问题：
(1)用含 $ x $ 的式子表示这套新房的面积 $ S $；
(2)若每铺 $ 1m^2 $ 地板砖的费用为 $ 120 $ 元，当 $ x = 6 $ 时，求这套新房铺地板砖所需的总费用。

答案： （1）由图可知，新房可看作一个大长方形减去右上角的小长方形。大长方形的长为$10m$，宽为$8m$，小长方形的长为$(10 - 4)m = 6m$，宽为$(8 - x)m$。
所以$S = 10×8 - 6×(8 - x)$
$= 80 - 48 + 6x$
$= 32 + 6x$
（2）当$x = 6$时，$S = 32 + 6×6 = 32 + 36 = 68(m^2)$
总费用为$68×120 = 8160$（元）
（1）$S = 6x + 32$；（2）8160元

11. 采花毛尖是湖北十大名茶之一，其外形细秀、香高持久、味醇回甘.如图，某公司加工的一款采花毛尖茶叶罐呈圆柱形，它的外半径是 $ Rcm $，壁厚是 $ dcm $，高是 $ acm $。
(1)用代数式表示茶叶罐的容积 $ V $；
(2)当 $ R = 3 $，$ d = 0.3 $，$ a = 15 $ 时，求茶叶罐的容积（$ \pi $ 取 $ 3 $，结果取整数）。

答案：
(1) 解：
茶叶罐的内半径为：$R - d$，
圆柱形茶叶罐的容积 $V$ 的代数式为：
$V = \pi (R - d)^{2}a$。
(2) 解：
将 $R = 3$，$d = 0.3$，$a = 15$，$\pi=3$ 代入 $V = \pi (R - d)^{2}a$ 得：
$V = 3 × (3 - 0.3)^{2} × 15$
$= 3 × 2.7^{2} × 15$
$= 3 × 7.29 × 15$
$\approx 328（cm^3）$（结果取整数）
所以茶叶罐容积约为$328cm^3$。