《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

6. 小明不小心把墨汁洒在了作业本上,以下关于$x$的一元一次方程中的一个数字被覆盖了,$\frac{2x - 6}{3}+■(x - 3)= 0$,小明经过思考,仍然解出了该方程,请问该方程的解是多少？被覆盖的数字有什么特点？

答案： 方程的解是$x=3$；被覆盖的数字不为$-\frac{2}{3}$。

7. 已知$a$,$b$为常数,关于$x的方程\frac{kx - a}{2}-1= \frac{2x - bk}{4}$,不论$k$取何值,方程的解总为$x= -1$,求$a$,$b$的值.

答案： 首先将$x = - 1$代入方程$\frac{kx - a}{2} - 1 = \frac{2x - bk}{4}$，得到：
$\frac{- k - a}{2} - 1 = \frac{- 2 - bk}{4}$
两边同时乘以4，得到：
$2(- k - a) - 4 = - 2 - bk$
展开并整理，得到：
$-2k - 2a - 4 = -2 - bk$
将所有包含$k$的项移到等式一侧，常数项移到另一侧，得到：
$(b - 2)k = 2a + 2$
由于该等式需要对所有的$k$都成立，那么$k$的系数必须为0，且常数项也必须为0。因此，有：
$b - 2 = 0$
$2a + 2 = 0$
解这两个方程，得到：
$a = -1$
$b = 2$

8. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数,我们就称这两个方程为“兄弟方程”.如方程$2x = 4和3x + 6= 0$为“兄弟方程”.
(1)若关于$x的方程5x + m= 0与方程2x - 4= x + 1$是“兄弟方程”,求$m$的值；
(2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为$8$,其中一个解为$n$,求$n$的值；
(3)若关于$x的方程2x + 3m - 2= 0和3x - 5m + 4= 0$是“兄弟方程”,求这两个方程的解.

答案：
(1)
解方程$2x - 4 = x + 1$，
移项可得$2x - x = 1 + 4$，
解得$x = 5$。
因为方程$5x + m = 0$与方程$2x - 4 = x + 1$是“兄弟方程”，所以方程$5x + m = 0$的解为$x = - 5$。
把$x = - 5$代入$5x + m = 0$，得$5×(-5)+m = 0$，
即$-25 + m = 0$，
解得$m = 25$。
(2)
因为两个“兄弟方程”的两个解互为相反数，设其中一个解为$n$，则另一个解为$-n$。
已知两个解的差为$8$，则$\vert n - (-n)\vert = 8$，即$\vert 2n\vert = 8$，
所以$2n = 8$或$2n = - 8$，
解得$n = 4$或$n = - 4$。
(3)
解方程$2x + 3m - 2 = 0$，
移项可得$2x = 2 - 3m$，
解得$x=\frac{2 - 3m}{2}$。
解方程$3x - 5m + 4 = 0$，
移项可得$3x = 5m - 4$，
解得$x = \frac{5m - 4}{3}$。
因为这两个方程是“兄弟方程”，所以$\frac{2 - 3m}{2}+\frac{5m - 4}{3}=0$，
等式两边同时乘以$6$去分母得：$3(2 - 3m)+2(5m - 4)=0$，
去括号得：$6 - 9m + 10m - 8 = 0$，
合并同类项得：$m - 2 = 0$，
解得$m = 2$。
把$m = 2$代入$x=\frac{2 - 3m}{2}$，得$x=\frac{2 - 3×2}{2}=\frac{2 - 6}{2}=-2$。
把$m = 2$代入$x = \frac{5m - 4}{3}$，得$x=\frac{5×2 - 4}{3}=\frac{10 - 4}{3}=2$。
综上，答案依次为：
(1)$m = 25$；
(2)$n = 4$或$n = - 4$；
(3)方程$2x + 3m - 2 = 0$的解为$x = - 2$，方程$3x - 5m + 4 = 0$的解为$x = 2$。