《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

1. 观察下面的等式：$3^2 - 1^2 = 8×1,5^2 - 3^2 = 8×2,7^2 - 5^2 = 8×3,9^2 - 7^2 = 8×4,…,$按上面的规律归纳出一个一般的结论是$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$。

答案： $(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$

2. 有一组单项式：a^2,$-\frac{1}{2}a^3$,$\frac{1}{3}a^4$,$-\frac{a^5}{4}$,…,则第 n 个单项式是$(-1)^{n + 1}\frac{1}{n}a^{n + 1}$。

答案： $(-1)^{n + 1}\frac{1}{n}a^{n + 1}$

3. 下列数表是由从 1 开始的连续自然数组成的,观察规律并完成各题的解答。
1第一行2 3第二行4 5 6第三行7 8 9 10第四行11 12 13 14 15第五行………

(1)表中第六行的最后一个数是21,第 n 行的最后一个数是$\frac{n(n + 1)}{2}$；
(2)若用(a,b)表示一个数在数表中的位置,如 9 的位置是(4,3),则 168 的位置是(18,15)。

答案：
(1)$21$；$\frac{n(n + 1)}{2}$
(2)$(18,15)$

4. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的,照此规律排列下去,第 15 个图中小正方形的个数是(D)
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A.31
B.210
C.225
D.255

答案： D

5. (1)观察图①中图形与等式的关系,并填空:
(2)根据(1)中结论,计算图②中黑球的个数,用含有 n 的式子表示为:
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)+ (2n+1)+(2n - 1)+…+5+3+1= 2n²+2n+1。

答案：
(1)4²；n²；
(2)2n+1；2n²+2n+1

6. 如图,利用黑白两种颜色的五边形组成的图案,根据图案组成的规律回答下列问题:
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(1)图案$\boldsymbol{n}$中黑色五边形有n个,白色五边形有____3n+1个(用含 n 的式子表示);
(2)图案$\boldsymbol{n}$中白色五边形可能有 2026 个吗?若可能,请求出 n 的值;若不可能,请说明理由。

答案：
(1) n；3n+1
(2) 可能，n=675。
理由：令3n+1=2026，解得n=675，n为正整数，故可能。