《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

1. 用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等式.
(1)如果$a - 3 = b + 2$,那么$a + 1 = $$b + 6$；
(2)如果$3x = 2x + 5$,那么$3x -$$2x$$= 5$；
(3)如果$\frac{1}{2}x = 5$,那么$x = $$10$；
(4)如果$5m = 2n$,那么$m = $$\frac{2}{5}n$.

答案：
(1)$b + 6$；
(2)$2x$；
(3)$10$；
(4)$\frac{2}{5}n$。

2. 已知等式$\frac{1}{3}ax = 4a$,则下列等式不一定成立的是(D)
A.$\frac{1}{3}ax - 4a = 0$
B.$\frac{1}{3}ax - b = 4a - b$
C.$ax = 12a$
D.$\frac{1}{3}x = 4$

答案： B（题目问不一定成立的，而B选项的变形依赖于原等式但引入了新变量$b$且原式并不包含该变量，在逻辑上虽然等式本身在给定下成立，但题目问的是由原式直接推导出的不一定成立的等式，而D是明确不一定成立的，但选项需要选择一个且B选项的等式在形式上并非由原式直接推导出的必然结果，然而根据题目和选项的严格对应，应选择D作为不一定成立的选项的对应选择逻辑存在于题目的设定中，此处按照题目要求选择D的对应选项逻辑为题目要求的答案形式，即选择D的“不一定成立”对应的是选项D本身，而在选择中应选：D（的对应选项逻辑）的实际选择表述为选择D选项，即$\frac{1}{3}x = 4$不一定成立，所以选择D。） （实际选择填写：D）

3. 中央电视台某节目中,有一期的题目如图所示,两个天平都平衡,则与$2$个球体相等质量的正方体的个数为(A)

A.$5$个
B.$4$个
C.$3$个
D.$2$个

答案： A

4. 根据等式性质进行变形,下列变形错误的是(B)
A.若$x - a = y - a$,则$x = y$
B.若$ac^{2} = bc^{2}$,则$a = b$
C.若$2x = x + y$,则$x = y$
D.若$\frac{x}{m - 1} = \frac{y}{m - 1}$,则$x = y$

答案： B

5. 利用等式的性质解下列方程,并检验.
(1)$7x - 6 = 8$；
(2)$0.4x + 10 = - 1$；
(3)$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$.

答案：
(1)
解：
根据等式性质$1$，等式两边同时加$6$，得：
$7x - 6 + 6 = 8 + 6$
$7x = 14$
根据等式性质$2$，等式两边同时除以$7$，得：
$x = 2$
检验：将$x = 2$代入原方程，得左边$= 7 × 2 - 6 = 8$，右边$= 8$，因为左边$=$右边，所以$x = 2$是方程的解。
(2)
解：
根据等式性质$1$，等式两边同时减$10$，得：
$0.4x + 10 - 10 = -1 - 10$
$0.4x = -11$
根据等式性质$2$，等式两边同时除以$0.4$，得：
$x = - \frac{55}{2}$
检验：将$x = - \frac{55}{2}$代入原方程，得左边$= 0.4 × ( - \frac{55}{2}) + 10 = - 11 + 10 = -1$，右边$= -1$，因为左边$=$右边，所以$x = - \frac{55}{2}$是方程的解。
(3)
解：
根据等式性质$1$，等式两边同时减$\frac{1}{3}$，得：
$\frac{1}{3} - \frac{x}{4} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$- \frac{x}{4} = \frac{1}{6}$
根据等式性质$2$，等式两边同时乘以$-4$，得：
$x = - \frac{2}{3}$
检验：将$x = - \frac{2}{3}$代入原方程，得左边$= \frac{1}{3} - \frac{1}{4} × ( - \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$，右边$= \frac{1}{2}$，因为左边$=$右边，所以$x = - \frac{2}{3}$是方程的解。

6. 对于有理数$a$,$b$,$c$,$d$,规定一种运算$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc$,如$\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 2 & - 2\end{vmatrix} = 1×(- 2) - 0×2 = - 2$.
若$\begin{vmatrix}0 & - 4 \\ 3 - x & 5\end{vmatrix} = 8$,求$x$的值.

答案： $x = 1$

7. 一般情况下$\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{m + n}{2 + 4}$不成立,但有些数可以使得它成立,例如$m = n = 0$. 我们称使得$\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{m + n}{2 + 4}成立的一对数m$,$n$为“相伴数对”,记为$(m,n)$.
(1)试说明$(1,- 4)$是相伴数对；
(2)若$(x,4)$是相伴数对,求$x$的值.

答案：
(1)
将$m = 1$，$n = - 4$代入$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}$可得：
$\frac{1}{2}+\frac{-4}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
将$m = 1$，$n = - 4$代入$\frac{m + n}{2+4}$可得：
$\frac{1+( - 4)}{6}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$
因为$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m + n}{2 + 4}$，所以$(1,-4)$是相伴数对。
(2)
因为$(x,4)$是相伴数对，将$m = x$，$n = 4$代入$\frac{m}{2}+\frac{n}{4}=\frac{m + n}{2+4}$可得：
$\frac{x}{2}+\frac{4}{4}=\frac{x + 4}{6}$
$\frac{x}{2}+1=\frac{x + 4}{6}$
等式两边同时乘以$6$去分母得：
$3x+6=x + 4$
移项得：
$3x-x=4 - 6$
合并同类项得：
$2x=-2$
系数化为$1$得：
$x=-1$