《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

9. 我们常用的数是十进制,如$4567= 4×10^{3}+5×10^{2}+6×10+7×1$,数要用10个数码(又叫数字)：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在电子计算机中用的是二进制,只要两个数码：0和1.如二进制中$110= 1×2^{2}+1×2^{1}+0×1$等于十进制中的数6,$110101= 1×2^{5}+1×2^{4}+0×2^{3}+1×2^{2}+0×2^{1}+1×1$等于十进制中的数53,那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？

答案： 二进制数$101011$转换为十进制数的计算过程如下：
$101011_{(2)}$
$= 1 × 2^{5} + 0 × 2^{4} + 1 × 2^{3} + 0 × 2^{2} + 1 × 2^{1} + 1 × 2^{0}$
$= 1 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1$
$= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1$
$= 43$
所以，二进制中的数$101011$等于十进制中的数$43$。

10. 观察下面三行数：
2,-4,8,-16,…；①
-1,2,-4,8,…；②
3,-3,9,-15,….③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第9个数,计算这三个数的和.

答案：
(1) 第①行数的规律：第n个数为$(-1)^{n+1} × 2^n$（n为正整数）。
(2) 第②行数是第①行对应数乘以$-\frac{1}{2}$；第③行数是第①行对应数加1。
(3) 第①行第9个数：当n=9时，$(-1)^{9+1} × 2^9 = 512$；第②行第9个数：$512 × (-\frac{1}{2}) = -256$；第③行第9个数：$512 + 1 = 513$；三个数的和：$512 + (-256) + 513 = 769$。

11. 已知a是有理数.
(1)若$b= (a+2)^{2}+3$,则b是否有最小值？若有,请求出这个最小值,并求出此时a的值；若没有,请说明理由；
(2)试比较$a^{2}与|a|$的大小.

答案：
(1)
∵(a+2)²≥0，
∴b=(a+2)²+3≥3，当(a+2)²=0，即a=-2时，b有最小值3。
(2)当|a|=0或|a|=1时，a²=|a|；当|a|＞1时，a²＞|a|；当0＜|a|＜1时，a²＜|a|。

12. (1)比较下列数的大小(在横线上填写“＞”“＜”或“=”)：
$1^{2}$＜$2^{1}$,$2^{3}$＜$3^{2}$,$3^{4}$＞$4^{3}$,$4^{5}$＞$5^{4}$,$5^{6}$＞$6^{5}$；
(2)根据以上规律比较$n^{n+1}$和$(n+1)^{n}$的大小(n是正整数)；
(3)根据归纳总结,比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小.
(2)当$n = 1$或$n = 2$时，$n^{n + 1}\lt(n + 1)^{n}$；当$n\geq3$，$n$为正整数时，$n^{n + 1}\gt(n + 1)^{n}$。(3)因为$2024\geq3$，所以$2024^{2025}\gt2025^{2024}$。

答案：
(1)
$1^{2}\lt2^{1}$；
$2^{3}\lt3^{2}$；
$3^{4}\gt4^{3}$；
$4^{5}\gt5^{4}$；
$5^{6}\gt6^{5}$。
(2)
当$n = 1$或$n = 2$时，$n^{n + 1}\lt(n + 1)^{n}$；
当$n\geq3$，$n$为正整数时，$n^{n + 1}\gt(n + 1)^{n}$。
(3)
因为$2024\geq3$，所以$2024^{2025}\gt2025^{2024}$。