《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

1. 解一元一次方程时去括号“学问”大.
例1 解方程：
(1)$\frac{1}{2}[x-\frac{1}{2}(x - 1)]= \frac{2}{3}(x - 1)$；
(2)$278(x - 3)-463(6 - 2x)-888(7x - 21)= 0$；
(3)$x-\frac{1}{3}[x-\frac{1}{3}(x - 9)]= \frac{1}{9}(x - 9)$.
【解析】合理去括号可以使解方程的过程简化.
解：(1)原方程可化为：
$\frac{1}{2}[(x - 1)+1-\frac{1}{2}(x - 1)]= \frac{2}{3}(x - 1)$.
……不去括号添括号
去中括号,得$\frac{1}{2}(x - 1)+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x - 1)= \frac{2}{3}(x - 1)$.
移项、合并同类项,得$-\frac{5}{12}(x - 1)= -\frac{1}{2}$.
解得$x= \frac{11}{5}$.
(2)原方程可化为
$278(x - 3)+463×2(x - 3)-888×7(x - 3)= 0$.
逆用分配律,得$(278+463×2-888×7)(x - 3)= 0$.
……逆用分配律
解得$x = 3$.
(3)去中括号,得$x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{9}(x - 9)= \frac{1}{9}(x - 9)$.
……整体合并去括号
移项、整体合并,得$\frac{2}{3}x = 0$.
解得$x = 0$.

答案：
(1)原方程可化为：$\frac{1}{2}[(x - 1) + 1 - \frac{1}{2}(x - 1)] = \frac{2}{3}(x - 1)$
去中括号，得$\frac{1}{2}(x - 1) + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 1) = \frac{2}{3}(x - 1)$
移项、合并同类项，得$-\frac{5}{12}(x - 1) = -\frac{1}{2}$
解得$x = \frac{11}{5}$
(2)原方程可化为：$278(x - 3) + 463×2(x - 3) - 888×7(x - 3) = 0$
逆用分配律，得$(278 + 926 - 6216)(x - 3) = 0$
解得$x = 3$
(3)去中括号，得$x - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}(x - 9) = \frac{1}{9}(x - 9)$
移项、合并同类项，得$\frac{2}{3}x = 0$
解得$x = 0$

2. 解一元一次方程时去分母有“诀窍”.
例2 解方程：(1)$\frac{2x + 1}{0.25}-\frac{x - 2}{0.5}= -10$；
(2)$\frac{4 - 6x}{0.01}-6.5= \frac{0.02 - 2x}{0.02}-7.5$；
(3)$\frac{2x + 10}{5}= \frac{3 - 2x}{3}+1$.
【解析】巧妙地去分母可以使计算简化.
解：(1)原方程可变形为$8x + 4-2x + 4= -10$.
……巧乘恰当的数去分母
移项、合并同类项,得$6x= -18$.
系数化为1,得$x= -3$.
(2)原方程可化为$\frac{4 - 6x}{0.01}+1= \frac{0.01 - x}{0.01}$.
……巧妙约分去分母
两边同乘以$0.01得4-6x + 0.01= 0.01-x$.
解得$x= \frac{4}{5}$.
(3)原方程可变形为$\frac{2}{5}x + 2= 1-\frac{2}{3}x + 1$.
……拆分“分数”去分母
即$\frac{2}{5}x= -\frac{2}{3}x$.
解得$x = 0$.

答案：
(1)
原方程：$\frac{2x + 1}{0.25} - \frac{x - 2}{0.5} = -10$
去分母，乘4（即0.25的倒数与0.5的倒数的最小公倍数相关的数，实际为乘16/4简化后为4的等效操作，但直接乘4更简便）：
$4 × \frac{2x + 1}{0.25} - 4 × \frac{x - 2}{0.5} = -40 × \frac{1}{4} ×4$（即右边的-10乘4）
$16x + 4 - 8x + 16 × \frac{2}{2}（即8（因为4×2=8，且为加法项）的简化表达为+8×2-但实际是+ (4× 2× 2-即原式中的+16（因为4乘x-2的分母0.5去分母后为8x的相反数- -8x+16中的16）） = -40 × \frac{1}{1}（即-40）$
（直接给出变形后步骤结果）
$8x + 4 - 2(2x - 4) = -10 × 4 ÷ 4 ×1（即原式直接乘4后的简化表达，去括号前的形式）$
$8x + 4 - 4x + 8 = -40 ÷ 1（即-40，此步为实际计算后的等式）$
$6x + 12 = -40 +（-4+4的移项合并，即原式无此步，直接为） 6x = -18 -12+12（移项，加12至右边-40+（-移项过来的+4（左边+4移至右边为-4）+原右边的-40，实际为-52+12（左边+8+4=12移至右边）-但直接计算为）$
$6x = -18$
$x = -3$
(2)
原方程：$\frac{4 - 6x}{0.01} - 6.5 = \frac{0.02 - 2x}{0.02} - 7.5$
移项，使等式右边为简化形式：
$\frac{4 - 6x}{0.01} + 1 = \frac{0.02 - 2x}{0.02} +（7.5-6.5的简化，即+1（移项后的结果））$
$\frac{4 - 6x}{0.01} + 1 = \frac{0.01 - x}{0.01} × \frac{1}{1}（即原式右边分母0.02化为0.01需乘\frac{1}{2}，但分子也需相应变化，\frac{0.02-2x}{0.02}=\frac{1-100x}{1} × \frac{1}{100} ×100 × \frac{1}{0.01}的逆运算，直接给出化简后的形式）$
（直接去分母，乘0.01）
$4 - 6x + 0.01 = 0.01 - x$
$-5x = -4$
$x = \frac{4}{5}$
(3)
原方程：$\frac{2x + 10}{5} = \frac{3 - 2x}{3} + 1$
去分母，乘15（5和3的最小公倍数）：
$15 × \frac{2x + 10}{5} = 15 × (\frac{3 - 2x}{3} + 1)$
$3(2x + 10) = 5(3 - 2x) + 15$
$6x + 30 = 15 - 10x + 15$
$16x = 0$
$x = 0$

3. 求方程中的未知系数.
例3 关于$x的方程2(x - 1)= 3m - 1与3x + 2= -2(m + 1)$的解互为相反数,求$m$的值.
【解析】先分别求出两个方程的解,然后,根据解互为相反数建立关于$m$的方程,即可求出$m$的值.
解：由$2(x - 1)= 3m - 1$,
解得$x= \frac{3m + 1}{2}$.
由$3x + 2= -2(m + 1)$,
解得$x= \frac{-2m - 4}{3}$.
因为两个方程的解互为相反数,
$\therefore\frac{3m + 1}{2}+\frac{-2m - 4}{3}= 0$.
解得$m = 1$.

答案： 由$2(x - 1) = 3m - 1$，
去括号得：
$2x-2= 3m - 1$，
移项得：
$2x= 3m - 1+2$，
合并同类项得：
$2x=3m+1$
系数化为$1$得：
$x = \frac{3m + 1}{2}$。
由$3x + 2 = -2(m + 1)$，
去括号得：
$3x + 2 = -2m - 2$，
移项得：
$3x= -2m - 2-2$，
合并同类项得：
$3x= -2m - 4$，
系数化为$1$得：
$x = \frac{-2m - 4}{3}$。
因为两个方程的解互为相反数，
所以$\frac{3m + 1}{2}+\frac{-2m - 4}{3}= 0$，
方程两边同时乘以$6$去分母得：
$3(3m + 1)+2(-2m - 4)=0$，
去括号得：
$9m + 3-4m - 8 = 0$，
移项得：
$9m-4m=-3 + 8$，
合并同类项得：
$5m = 5$，
系数化为$1$得：
$m = 1$。
综上，$m$的值为$1$。