《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

例 1 已知 $a = b$,则 $a - 3 = b$-3.
【思路导析】等式的两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍为等式.

答案： -3

例 2 已知 $a = b$,两边同除以$-2$,得到$-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$.
【思路导析】等式的两边乘以同一个数,或除以同一个不为$0$的数,结果仍为等式.

答案： $-\frac{a}{2}=-\frac{b}{2}$

例 3 用等式的性质解下列方程：

(1)$x - 3 = 5$； (2)$\frac{3}{2}x = 2$.
【思路导析】根据等式的性质把方程化为 $x = a$ 的形式.

答案：
(1)
根据等式的性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
对于方程$x - 3 = 5$，在等式两边同时加上$3$，可得：
$x - 3 + 3 = 5 + 3$
$x=8$
(2)
根据等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等。
对于方程$\frac{3}{2}x = 2$，在等式两边同时乘以$\frac{2}{3}$，可得：
$\frac{3}{2}x×\frac{2}{3}=2×\frac{2}{3}$
$x = \frac{4}{3}$
综上，
(1)中方程的解为$x = 8$；
(2)中方程的解为$x=\frac{4}{3}$。

例 4 能不能由$(a + 3)x = b - 1得到等式x = \frac{b - 1}{a + 3}$,为什么？反之,能不能由$x = \frac{b - 1}{a + 3}得到(a + 3)x = b - 1$,为什么？
【思路导析】应用等式两边“乘以同一个数或除以同一个不为$0$的数”进行分析.
【规范解答】不能由$(a + 3)x = b - 1得到x = \frac{b - 1}{a + 3}$.因为当$a = - 3$时,$a + 3 = 0$,而$0$不能为除数,即不符合等式的性质$2$的规定,所以不能得到.
由$x = \frac{b - 1}{a + 3}可以得到(a + 3)x = b - 1$.因为$x = \frac{b - 1}{a + 3}$是已知条件,已知条件中已经隐含着条件$a + 3 \neq 0$,等式两边乘同一个数,等式仍成立,所以可以得到.

答案： 不能由$(a + 3)x = b - 1$得到$x = \frac{b - 1}{a + 3}$。因为当$a = -3$时，$a + 3 = 0$，0不能作除数，不符合等式性质2的规定。
能由$x = \frac{b - 1}{a + 3}$得到$(a + 3)x = b - 1$。因为该等式隐含$a + 3 \neq 0$，等式两边乘同一个数$a + 3$，等式仍成立。

老师在黑板上写了一个等式$4(2x + 1) = \frac{1}{2}m \cdot (2x + 1)$,甲同学说$m = 8$；乙同学说不一定,当$m \neq 8$时,这个等式也可能成立. 甲、乙两位同学的说法正确吗？用等式的性质说明理由.

答案： 当2x+1≠0时，根据等式性质2，等式两边同时除以(2x+1)，得4=(1/2)m，解得m=8；
当2x+1=0时，即x=-1/2，此时等式左边=4×0=0，右边=(1/2)m×0=0，等式成立，m可为任意数。
综上，当m=8时等式一定成立，但当m≠8时，若x=-1/2等式也成立，故甲说法错误，乙说法正确。