《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

1. 利用数轴求点对应的数.
例 1 如图 1 所示,圆的周长为 4 个单位长度,在圆的 4 等分点处标上数字 0,1,2,3. 先让圆周上的数字 0 所对应的点与数轴上的数 -1 所对应的点重合,再将数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数 -2345 将与圆周上的数字0重合.

【解析】因为数轴按逆时针方向绕在该圆上,则可知数轴上的数 -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,…对应圆周上的数分别是 0,3,2,1,0,3,2,…,出现数 0,3,2,1 四个一循环.
因为 $2345 ÷ 4 = 586……1$,所以经过 586 次循环之后,-2345 对应的数与 -1 对应的数相同,是 0.

答案： 0

2. 利用数轴比较有理数的大小.
例 2 有理数 a,b 在数轴上的位置如图 2 所示,试比较 a,b,-a,-b 的大小.

【解析】根据相反数和绝对值的定义,可在数轴上把 -a,-b 标出来,如图 3 所示,利用数轴就可以比较它们的大小了.

解：由图 3 知,$b ＞ -a ＞ a ＞ -b$.
【变式】已知 a,b 为有理数,且 $a ＞ 0$,$b ＜ 0$,$a ＜ |b|$,比较 a,b,-a,-b 的大小.
解：根据题意,画出数轴,在数轴上标出 a,b,-a,-b 的位置,然后根据它们的位置比较它们的大小.

由图 4 知,$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$.

答案： 例2：解：由图3知，$b ＞ -a ＞ a ＞ -b$。
【变式】解：由图4知，$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$。

3. 利用数轴理解绝对值的几何意义.
例 3 已知数轴上三点 M,O,N 对应的数分别为 -3,0,1,点 P 为数轴上任意一点,其对应的数为 x.
(1)如果点 P 到点 M、点 N 的距离相等,那么 x 的值是-1.
(2)数轴上是否存在点 P,使点 P 到点 M、点 N 的距离之和是 6？若存在,请直接写出 x 的值；若不存在,请说明理由.
【解析】(1)根据三点 M,O,N 对应的数,得出 NM 的中点为 $x = (-3 + 1) ÷ 2$,进而求出 x 的值即可；
(2)根据点 P 在点 N 右侧或在点 M 左侧分别求出即可.
解：(1)点 P 到点 M、点 N 的距离相等,
∴x 的值是 -1.
故答案为 -1.
(2)存在符合题意的点 P,
此时 $x = 2$ 或 $x = -4$.
存在，x的值为2或-4

答案： -1