《2025年长江全能学案同步练习册七年级数学上册人教版》

7. 如图①,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个长方形,得到一个“S”的图案,如图②所示. 再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图③所示. 则新长方形的周长可表示为(C)

A.2a-3b
B.2a-4b
C.4a-8b
D.4a-10b

答案： C

8. 某中学七(1)班师生去野外远足,第一段路程,他们沿着光明路走了(5a+2)m到达健身广场,然后又沿着滨河大道走了第二段路程到达文化公园,第二段路程比第一段路程多4(6a-25)m.
(1)师生在这两段路程中共走了多少米？
(2)师生在文化公园短暂停留后,又开始了第三段路程,第三段路程比第一段路程少(a-10)m,那么师生一共走了多少路程？
(3)如果a= 200,全程师生行走的平均速度为80 m/min,那么师生一共走了多长时间？

答案：
(1)
第一段路程为$(5a + 2)$米，第二段路程比第一段路程多$4(6a - 25)$米，则第二段路程为：
$(5a + 2)+4(6a - 25)=5a + 2 + 24a-100 = 29a - 98$（米）
两段路程共走了：
$(5a + 2)+(29a - 98)=5a + 2+29a - 98 = 34a - 96$（米）
(2)
第三段路程比第一段路程少$(a - 10)$米，则第三段路程为：
$(5a + 2)-(a - 10)=5a + 2 - a + 10 = 4a + 12$（米）
三段路程一共走了：
$(34a - 96)+(4a + 12)=34a - 96+4a + 12 = 38a - 84$（米）
(3)
当$a = 200$时，总路程为：
$38×200 - 84=7600 - 84 = 7516$（米）
已知全程师生行走的平均速度为$80$米/分钟，根据时间$=$路程$÷$速度，可得行走时间为：
$7516÷80 = 93.95$（分钟）
综上，答案依次为：
(1)$(34a - 96)$米；
(2)$(38a - 84)$米；
(3)$93.95$分钟。

9. 将7张相同的小长方形纸片(如图①)按图②所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形,面积分别为$S_1$和$S_2. $已知小长方形纸片的长为a,宽为b,且a＞b.

(1)当a= 9,b= 2,AD= 30时,求长方形ABCD的面积及$S_1-S_2$的值；
(2)当AD= 30时,请用含a,b的式子表示$S_1-S_2$的值；
(3)若AB长度不变,AD变长,将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内,而$S_1-S_2$的值总保持不变,直接写出a,b满足的关系式.

答案：
(1) 因为小长方形长为$a$，宽为$b$，由图可知大长方形$ABCD$的宽$AB = a + 3b$，已知$a = 9$，$b = 2$，所以$AB = 9 + 3×2 = 15$。又$AD = 30$，则长方形$ABCD$的面积为$AB×AD = 15×30 = 450$。
$S_1 = a(AD - 4b) = 9×(30 - 4×2) = 9×22 = 198$，$S_2 = 3b(AD - a) = 3×2×(30 - 9) = 6×21 = 126$，所以$S_1 - S_2 = 198 - 126 = 72$。
(2) $S_1 = a(AD - 4b)$，$S_2 = 3b(AD - a)$，当$AD = 30$时，$S_1 - S_2 = a(30 - 4b) - 3b(30 - a) = 30a - 4ab - 90b + 3ab = 30a - 90b - ab$。
(3) 因为$S_1 - S_2 = AD(a - 3b) - ab$，若$AD$变长时$S_1 - S_2$不变，则$a - 3b = 0$，即$a = 3b$。
(1) 长方形$ABCD$的面积为$450$，$S_1 - S_2 = 72$；
(2) $S_1 - S_2 = 30a - 90b - ab$；
(3) $a = 3b$。