《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

阅读下面材料：
在月历表上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图所示的是某月份的月历，我们任意选择两组数(阴影表示)，分别将每组数中左右相对的两数的乘积减去上下相对的两数的乘积，得到的结果都是 48。例如：$8×10 - 2×16 = 48$，$19×21 - 13×27 = 48$。

(1)再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律？
(2)请利用整式的运算对这个规律加以证明。

答案： 解:
(1)10×12-4×18=48,符合这个规律.(答案不唯一)
(2)证明:设这四个数中最小的数为n,则以上规律可表示为(n+6)(n+8)-n(n+14).
∵(n+6)(n+8)-n(n+14)=n²+14n+48-n²-14n=48,
∴上述规律成立.

观察下列各式：
①$60×60=60^{2}-0^{2}=3600$；
②$59×61=(60-1)×(60+1)=60^{2}-1^{2}=3599$；
③$58×62=(60-2)×(60+2)=60^{2}-2^{2}=3596$；
④$57×63=(60-3)×(60+3)=60^{2}-3^{2}=3591$；
……
【探究】(1)上面的式子表示的规律是$(60+m)(60-m)=$$60^{2}-m^{2}$；观察各等式的左边发现两个因数之和都是 120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数相等时，乘积最大.
【应用】(2)根据上面的规律思考，若$a+b=400$，则$ab$的最大值是40 000.
【拓展】(3)将一根长 40 cm 的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为$x$ cm，面积为$S$，写出$S$与$x$之间的等量关系，当$x$为何值时，$S$取得最大值？

答案：
(1)$60^{2}-m^{2}$ 相等
(2)40 000
(3)
∵长方形的周长为 40 cm,一条边的长为 x cm,则另一条边的长为$(20-x)cm$,由长方形的面积公式,得$S=x(20-x).$
∵长方形的长与宽的和为定值$x+(20-x)=20$,
∴当$x=20-x$,即$x=10$时,$x(20-x)$最大,即面积 S 最大.
答:S 与 x 之间的等量关系为$S=x(20-x)$,当$x=10$时,S取得最大值.