《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

【变式3】如图，已知∠PBC=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠PCB=$\frac{1}{3}$∠ECB，试探究∠BPC与∠A之间的数量关系.

答案： 【变式 3】解：
∵∠DBC=∠ACB+∠A，
∴∠DBC+∠ECB=∠ACB+∠A+∠ECB=180°+∠A．
∵∠PBC=$\frac {1}{3}∠DBC$，∠PCB=$\frac {1}{3}∠ECB$，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac {1}{3}(∠DBC+∠ECB)=\frac {1}{3}(180^{\circ }+∠A)$．
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-$\frac {1}{3}(180^{\circ }+∠A)=120^{\circ }-\frac {1}{3}∠A$．

1. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则下列结论中错误的是(B)

A.∠1=2∠2
B.∠BOC=3∠2
C.∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠1
D.∠BOC=90°+∠2

答案： 1.B

2. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线分别对应交于点E，D.若∠E=90°，则∠BDC的度数为135°，∠A的度数为45°.

答案： 2.135° 45°

3. 如图，△ABC的两条内角平分线BO，CO相交于点O，两条外角平分线BP，CP相交于点P.已知∠BOC=120°，则∠P=60°.

答案： 3.60°

4. 【问题背景】已知∠MON=90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合).
【问题思考】
(1)如图1所示，AE，BE分别是∠BAO，∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，求∠AEB的度数.
(2)如图2所示，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D.如果∠MON=α，其余条件不变，随着点A，B的运动，求∠D的度数.(用含α的式子表示)

答案： 4.解：（1）
∵∠MON=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°．
∵AE，BE 分别是∠BAO，∠ABO 的平分线，
∴∠BAE=$\frac {1}{2}∠BAO$，∠ABE=$\frac {1}{2}∠ABO$．
∴∠BAE+∠ABE=$\frac {1}{2}(∠BAO+∠ABO)=45^{\circ }$．
∴∠AEB=180°-(∠BAE+∠ABE)=135°．（2）设∠BAD=x．
∵AD 平分∠BAO，
∴∠BAO=2x．
∵∠AOB=α，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+2x．
∵BC 平分∠ABN，
∴∠ABC=$\frac {1}{2}∠ABN=\frac {1}{2}α+x$．
∵∠ABC=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=$\frac {1}{2}α+x-x=\frac {1}{2}α$．