《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 下列式子为完全平方式的是(D)

A.$a^{2}+ab + b^{2}$
B.$a^{2}+2a + 2$
C.$a^{2}-2b + b^{2}$
D.$a^{2}+2a + 1$

答案： D

2. (1)$x^{2}-6x + k$是完全平方式，则$k=$9。
(2)若$x^{2}-ax + 16$是完全平方式，则$a=$±8。

答案：
(1)9
(2)±8

3. 下列多项式能直接用完全平方公式分解因式的是(B)

A.$9x^{2}-16y^{2}$
B.$4x^{2}-4x + 1$
C.$x^{2}+xy + y^{2}$
D.$9-3x + x^{2}$

答案： B

4. 分解因式：
(1)(2024·兰州)$a^{2}-2a + 1=$$(a-1)^{2}$。
(2)(2024·常州)$x^{2}-4xy + 4y^{2}=$$(x-2y)^{2}$。
(3)$(p + q)^{2}+10(p + q)+25=$$(p+q+5)^{2}$。

答案：
(1)$(a-1)^{2}$
(2)$(x-2y)^{2}$
(3)$(p+q+5)^{2}$

5. (2023·阜阳一初期末)在多项式$x^{2}+\frac{1}{4}$中添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式可以是x。(写一个即可)

答案： x(答案不唯一)

6. 分解因式：
(1)$m^{2}+14m + 49$。
(2)$1-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}x^{2}$。
(3)$-4x^{2}-y^{2}-4xy$。

答案：
(1)原式$=(m+7)^{2}$.
(2)原式$=(1-\frac {1}{3}x)^{2}$.
(3)原式$=-(4x^{2}+y^{2}+4xy)=-(2x+y)^{2}.$

7. 已知$9x^{2}+mxy + 16y^{2}$能运用完全平方公式分解因式，则$m$的值为(D)

A.12
B.$\pm 12$
C.24
D.$\pm 24$

答案： D

8. 已知$a\neq c$，若$M = a^{2}-ac$，$N = ac - c^{2}$，则$M$与$N$的大小关系是(A)

A.$M＞N$
B.$M = N$
C.$M＜N$
D.不能确定

答案： A

9. 已知实数$x$，$y$，$z$，且满足$yz=\frac{1}{4}(x^{2}-4y^{2}-z^{2})$，$x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$，$z\geqslant 0$，则下列结论一定正确的是(A)

A.$x = 2y + z$
B.$y = 2x + z$
C.$z = 2y + x$
D.$4xy = x^{2}+z^{2}$

答案： A

10. 分解因式：
(1)$25(x - y)^{2}-30(x - y)+9$。
(2)$-4m^{2}+4m(p + q)-(p + q)^{2}$。

答案：
(1)原式$=[5(x-y)]^{2}-2×5×3(x-y)+3^{2}=(5x-5y-3)^{2}$.
(2)原式$=-[4m^{2}-4m(p+q)+(p+q)^{2}]=-(2m-p-q)^{2}.$

11. 利用因式分解计算：$50×9.5^{2}-100×9.5×7.5 + 50×7.5^{2}$。

答案： 原式$=50×(9.5^{2}-2×9.5×7.5+7.5^{2})=50×(9.5-7.5)^{2}=50×2^{2}=200.$

12. 先阅读下面的内容，再解决问题：
对于形如$x^{2}+2xa + a^{2}$这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成$(x + a)^{2}$的形式。但对于二次三项式$x^{2}+2xa - 3a^{2}$，就不能直接运用公式了。此时，我们可以在二次三项式$x^{2}+2xa - 3a^{2}$中先加上一项$a^{2}$，使它与$x^{2}+2xa$的和成为一个完全平方式，再减去$a^{2}$，于是有：
$\begin{aligned}x^{2}+2xa - 3a^{2}&=(x^{2}+2xa + a^{2})-a^{2}-3a^{2}\\&=(x + a)^{2}-4a^{2}\\&=(x + a)^{2}-(2a)^{2}\\&=(x + 3a)(x - a)\end{aligned}$
像这样，先添一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”。
利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：$a^{2}-6a + 8=$$(a-2)(a-4)$。
(2)已知$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$都是正整数，且满足$a^{2}+b^{2}-2a - 4b + 5 = 0$，求$\triangle ABC$的周长，并判断$\triangle ABC$的形状。

答案：
(1)$(a-2)(a-4)$
(2)$\because a^{2}+b^{2}-2a-4b+5=0,\therefore (a^{2}-2a+1)+(b^{2}-4b+4)=0,\therefore (a-1)^{2}+(b-2)^{2}=0,\therefore a-1=0,b-2=0,\therefore a=1,b=2$.$\therefore 2-1＜c＜2+1$,即$1＜c＜3$.$\because c$是正整数,$\therefore c=2$.$\therefore a+b+c=5$.$\therefore \triangle ABC$的周长为5.$\because b=c=2$,$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形.