《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

5. 如图 1，$ A $，$ B $ 两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为 $ a $. 现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使 $ A $，$ B $ 之间的路程最短，试画出造桥位置. 对于此题，我们可以这样解决：
如图 2，把点 $ A $ 向下平移河宽 $ a $ 到点 $ A' $，连接 $ A'B $ 交 $ l_2 $ 于点 $ C $；过点 $ C $ 作 $ CD \perp l_1 $ 于点 $ D $，则 $ CD $ 就是造桥位置.
请仿照以上材料，解决如下问题：
如图 3，$ A $，$ B $ 两村之间有两条互相平行的河. 一条河宽 $ a $，另一条河宽 $ b $，现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使 $ A $，$ B $ 之间的路程最短，试画出造桥位置.

答案：

6. 【问题情景】如图 1，在平面直角坐标系中，$ A(3,0) $，$ B(1,3) $，在 $ y $ 轴上找一点 $ C $，使得 $ AC + BC $ 的值最小，请探究点 $ C $ 的坐标.
【方法分析】小刚的做法是先画出点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ A' $，连接 $ A'B $ 交 $ y $ 轴于点 $ C $，则此时 $ AC + BC $ 的值最小. 请在图 1 中按照小刚的方法完成作图. 小刚进一步发现：连接 $ OB $，利用 $ S_{\triangle A'OB} = S_{\triangle A'OC} + S_{\triangle BOC} $ 列方程，可求出点 $ C $ 的坐标. 请按照小刚的思路求出点 $ C $ 的坐标.
【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案(平面示意图如图 2). 假定长江两岸为互相平行的直线 $ l_1 $，$ l_2 $，且 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 相距 $ 1200\ m $，铁路所在直线垂直于 $ l_1 $. 位于点 $ A $ 处的化工厂与 $ l_1 $ 相距 $ 600\ m $，与铁路相距 $ 2400\ m $，位于点 $ B $ 处的火车站与 $ l_2 $ 相距 $ 2400\ m $. 若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使 $ A $，$ B $ 两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离.

答案：

6. 【方法分析】图略.由题意，得A'O=AO,A(3,0),

∴OA'=3.

∵S△A'OB=S△A'OC+S△BOC,

∴$\frac{1}{2}× 3× 3=\frac{1}{2}× 3× OC+\frac{1}{2}× OC× 1$.

∴OC=$\frac{9}{4}$.

∴C(0,$\frac{9}{4}$).【问题解决】图略,将点A向右平移1200 m至点A',连接A'B交l₂于点N,作MN⊥l₂交l₁于点M,则桥修在MN处.作A'E⊥MN,交MN于点D,交铁路所在的直线于点E,设l₂与铁路交于点F.设DE=NF=x m.

∵S△A'BE=S△NBF+S梯形AFEN,

∴$\frac{1}{2}× 2400× 3000=\frac{1}{2}× 2400\cdot x+\frac{1}{2}× 600(x+2400)$,解得x=1920.

∴桥与铁路的距离为1920 m.