《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

9. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线。如图，一把直尺压住射线$OB$，另一把直尺压住射线$OA$并且与第一把直尺相交于点$P$，小明说：“射线$OP$就是$\angle BOA$的平分线。”他这样做的依据是(A)

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确

答案： A

10. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$BA$和$CD$的延长线相交于点$E$。若存在点$P$，使得$S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PCD}$，则满足此条件的点$P$(D)

A.有且只有$1$个
B.有且只有$2$个
C.组成$\angle E$的平分线(点$E$除外)
D.组成$\angle E$及其外角的平分线所在的直线(点$E$除外)

答案： D

11. 如图，$AB // CD$，点$P$到$AB$，$BC$，$CD$的距离都相等，则$\angle P=$90°。

答案： 90°

12. ($2024$·阜阳十八中月考)如图，点$O$在$\triangle ABC$内，且到三边的距离相等，连接$OB$，$OC$。若$\angle BOC = 120^{\circ}$，则$\angle A=$60°。

答案： 60°

13. 新考向 真实情境 如图，铁路$OA$和铁路$OB$相交于点$O$处，河道$AB$与铁路分别相交于点$A$处和点$B$处。若在河岸上建一座水厂$M$，要求$M$到铁路$OA$，$OB$的距离相等，则该水厂$M$应建在图中的什么位置？请在图中标出点$M$的位置。

答案： 由题意知水厂$M$到铁路$OA$，$OB$的距离相等，根据角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，则：
用尺规作$\angle AOB$的角平分线，角平分线与$AB$的交点即为水厂$M$的位置。

14. 如图，已知$C$为射线$AD$上一点，$\angle A=\angle B$，$PA = PB$。求证：$CP$平分$\angle BCD$。

答案： 证明：过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，PF⊥AD 于点 F，则∠BEP=∠AFP=90°.在△BEP 和△AFP 中，{∠BEP=∠AFP,∠B=∠A,PB=PA,
∴△BEP≌△AFP(AAS).
∴PE=PF.又
∵PE⊥BC，PF⊥AD，
∴CP 平分∠BCD.

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$，$\angle EAC$的平分线$BP$，$AP$交于点$P$，延长$BA$，$BC$，$PM \perp BE$，$PN \perp BF$，垂足分别为$M$，$N$，则下列结论：
①$CP$平分$\angle ACF$；②$\angle ABC + 2\angle APC = 180^{\circ}$；
③$\angle ACB = 2\angle APB$；④$S_{\triangle PAC}=S_{\triangle MAP}+S_{\triangle NCP}$。其中正确的个数是(D)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： D