《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了$(a + b)^n$($n$为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如：

$(a + b)^0 = 1$，它只有一项，系数为$1$；
$(a + b)^1 = a + b$，它有两项，系数分别为$1$，$1$，系数和为$2$；
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，它有三项，系数分别为$1$，$2$，$1$，系数和为$4$；
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$，它有四项，系数分别为$1$，$3$，$3$，$1$，系数和为$8$；
……
根据以上规律，解答下列问题：
(1)$(a + b)^4$的展开式共有5项，系数分别为1,4,6,4,1.
(2)$(a + b)^n$的展开式共有(n+1)项，系数和为$2^{n}$.

答案： 1.
(1)5 1,4,6,4,1
(2)(n+1) $2^{n}$

2. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例. 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是$1$，其余每个数均为其上方左、右两数之和，它给出了$(a + b)^n$（$n$为正整数）的展开式（按$a$的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数$1$，$2$，$1$，恰好对应$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$展开式中的系数；第四行的四个数$1$，$3$，$3$，$1$，恰好对应$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$展开式中的系数；等等.
(1)根据上面的规律，写出$(a + b)^5$的展开式.
(2)利用上面的规律计算：$2^5 - 5×2^4 + 10×2^3 - 10×2^2 + 5×2 - 1$.

答案： 2.解:
(1)$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$.
(2)原式$=2^{5}+5× 2^{4}× (-1)+10× 2^{3}× (-1)^{2}+10× 2^{2}× (-1)^{2}+5× 2× (-1)^{4}+(-1)^{5}=(2-1)^{5}=1$.