《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

6. 下列计算正确的是(C)

A.$ (a + 3b)(a - 3b) = a^{2} - 3b^{2} $
B.$ (-a + 3b)(a - 3b) = -a^{2} - 9b^{2} $
C.$ (-a - 3b)(a - 3b) = -a^{2} + 9b^{2} $
D.$ (-a - 3b)(a + 3b) = a^{2} - 9b^{2} $

答案： 6.C

7. 已知 $ x^{2} - y^{2} = -1 $，则 $ (x - y)^{2025}(x + y)^{2025} = $-1。

答案： 7.-1

8. 定义 $ a※b = a(b + 1) $，例如 $ 2※3 = 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8 $。则 $ (x - 1)※x = $$x^{2}-1$。

答案： 8.$x^{2}-1$

9. 对于任意正整数 $ n $，能整除式子 $ (3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n) $ 的整数是(C)

A.$ 3 $
B.$ 6 $
C.$ 10 $
D.$ 9 $

答案： 9.C

10. 计算：
(1) $ (5m + 2)(5m - 2) - (3m + 1)(1 - 3m) $。
(2) $ 9 × 11 × 101 $。

答案： 10.解:
(1)原式$=(25m^{2}-4)-(1-9m^{2})=25m^{2}-4-1+9m^{2}=34m^{2}-5$.
(2)原式$=(10-1)×(10+1)×101=(10^{2}-1)×101=(100-1)×(100+1)=100^{2}-1=9999$.

11. (1) 先化简，再求值：$ (a + b)(a - b) + b(2a + b) $，其中 $ a = 1 $，$ b = -2 $。
(2) 已知 $ 3x^{2} - x - 1 = 0 $，求式子 $ (2x + 5)(2x - 5) + 2x(x - 1) $ 的值。

答案： 11.解:
(1)原式$=a^{2}-b^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+2ab$.当$a=1$,$b=-2$时,原式$=1^{2}+2×1×(-2)=1-4=-3$.
(2)原式$=4x^{2}-25+2x^{2}-2x=6x^{2}-2x-25$.$\because3x^{2}-x-1=0$,$\therefore3x^{2}-x=1$.$\therefore$原式$=2(3x^{2}-x)-25=2×1-25=-23$.

12. 某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为 $ (4a^{2} + 9b^{2})m $，宽为 $ (2a + 3b)m $，深为 $ (2a - 3b)m $，则这个游泳池的容积是多少？

答案： 12.解:$(4a^{2}+9b^{2})(2a+3b)(2a-3b)=(4a^{2}+9b^{2})(4a^{2}-9b^{2})=(16a^{4}-81b^{4})\ m^{3}$.
答:这个游泳池的容积是$(16a^{4}-81b^{4})\ m^{3}$.

13. 石家庄外国语校本经典题 先观察下面的解题过程，然后解答问题：
化简：$ (2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1) $。
解：原式 $ = (2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1) $
$ = (2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1) $
$ = (2^{4} - 1)(2^{4} + 1) $
$ = 2^{8} - 1 $。
化简：$ (3 + 1)(3^{2} + 1)(3^{4} + 1)(3^{8} + 1) \cdots (3^{64} + 1) $。

答案： 13.解:原式$=\frac{1}{2}(3-1)(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\frac{1}{2}(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\frac{1}{2}(3^{4}-1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\frac{1}{2}(3^{8}-1)(3^{8}+1)\cdots(3^{64}+1)=\frac{1}{2}(3^{64}-1)(3^{64}+1)=\frac{1}{2}(3^{128}-1)$.