《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补. 若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点. 求证：PM=PN.

【拓展设问1】 OM+ON的值是否发生变化？请说明理由.
【拓展设问2】 四边形PMON的面积是否发生变化？请说明理由.

答案： 证明:过点 P 分别作 PE⊥OA 于点 E,PF⊥OB 于点 F.
∴∠PEO=∠PFO=90°.
∴∠OPE+∠EOP=90°,∠OPF+∠FOP=90°.
∴∠OPE+∠OPF+∠EOP+∠FOP=180°,即∠EPF+∠AOB=180°.
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN.
∴∠EPM=∠FPN.
∵OP 平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF.在△PEM 和△PFN 中,∠EPM=∠FPN,PE=PF,∠PEM=∠PFN,
∴△PEM≌△PFN(ASA).
∴PM=PN.
【拓展设问 1】解:OM+ON 的值不变.理由:
∵△PEM≌△PFN,
∴ME=NF.易证△EPO≌△FPO,
∴OE=OF.
∴OM+ON=OE+EM+ON=OE+NF+ON=OE+OF=2OE=定值.
【拓展设问 2】解:四边形 PMON 的面积不变.理由:
∵△PEM≌△PFN,
∴S△PEM=S△PFN.
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值.

2. 如图所示，已知AC//BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，请你探究线段AB与线段AC，BD之间的数量关系.
(1)用等式表示线段AB与线段AC，BD之间的数量关系：AC+BD=AB.
(2)请对第(1)问中的数量关系进行证明.

答案： 2.
(1)AC+BD=AB
(2)证明:在 AB 上截取 AF=AC,连接 EF.
∵AE 平分∠CAB,
∴∠CAE=∠FAE.又
∵AE=AE,AF=AC,
∴△CAE≌△FAE(SAS).
∴∠C=∠AFE.
∵AC//BD,
∴∠C+∠D=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠D=∠EFB.
∵BE 平分∠DBA,
∴∠EBD=∠EBF.又
∵∠D=∠EFB,EB=EB,
∴△EBD≌△EBF(AAS).
∴BD=BF.
∴AB=AF+BF=AC+BD.