《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上，且 $BD = CE$，$DE$ 交 $BC$ 于点 $F$. 求证：$DF = EF$.

答案： 1. 证明:过点 D 作 DM//AC 交 BC 于点 M.
∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∴∠B=∠DMB.
∴BD=MD.
∵BD=CE,
∴MD=CE. 在△DMF 和△ECF 中, {∠MDF=∠E, ∠MFD=∠CFE, MD=CE,
∴△DMF≌△ECF(AAS).
∴DF=EF.

2. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，$BE$ 是角平分线，$CD\perp BE$ 交 $BE$ 的延长线于点 $D$. 求证：$BE = 2CD$.

答案： 2. 证明:延长 BA,CD 相交于点 Q.
∵∠CAQ=∠BDQ=90°,
∴∠ACQ+∠Q=90°,∠ABE+∠Q=90°.
∴∠ACQ=∠ABE. 在△ABE 和△ACQ 中, {∠ABE=∠ACQ, AB=AC, ∠BAE=∠CAQ,
∴△ABE≌△ACQ(ASA).
∴BE=CQ.
∵BD 平分∠ABC, ∠BDC=∠BDQ=90°,
∴∠Q=∠BCQ.
∴BQ=BC. 又
∵BD⊥CQ,
∴CD=DQ.
∴BE=CQ=2CD.

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle ABC = 3\angle C$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$BE\perp AD$ 于点 $E$. 求证：$BE = \frac{1}{2}(AC - AB)$.

答案： 3. 证明:延长 BE 交 AC 于点 F.
∵BF⊥AD,
∴∠AEB=∠AEF.
∵AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAE = ∠FAE. 在 △ABE 和 △AFE 中, {∠AEB=∠AEF, AE=AE, ∠BAE=∠FAE,
∴△ABE≌△AFE(ASA).
∴∠ABF=∠AFB,AB=AF, BE=EF.
∵∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,
∴∠C+2∠CBF=3∠C.
∴∠CBF=∠C.
∴BF=CF.
∴BE=1/2 BF=1/2 CF.
∵CF=AC-AF=AC-AB,
∴BE=1/2 (AC-AB).