《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

 4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 108^{\circ}$，$AB = AC$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，交 $AC$ 于点 $D$. 求证：$BC = AB + CD$.

答案： 4. 证明:(方法一:截长法)在 BC 上取点 E,使 BE=BA,连接 DE.
∵BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠EBD. 在 △ABD 和 △EBD 中, {AB=EB, ∠ABD=∠EBD, BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SAS).
∴∠BAC=∠BED=108°.
∴∠DEC=72°.
∵AB=AC,∠BAC=108°,
∴∠C=∠ABC=36°.
∴∠CDE=72°.
∴∠CDE=∠CED.
∴CD=CE.
∴BC=BE+EC=AB+CD. (方法二:补短法)延长 BA 至点 F,使 BF=BC,连接 DF.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠CBD=∠FBD. 在△FBD 和△CBD 中, {FB=CB, ∠FBD=∠CBD, BD=BD,
∴△FBD≌△CBD(SAS).
∴DF=DC,∠F=∠C.
∵AB=AC,∠BAC=108°,
∴∠C=∠ABC=36°,∠FAD=72°.
∴∠F=36°.
∴∠FDA=72°.
∴∠FDA=∠FAD.
∴FA=FD.
∴CD=DF=AF.
∴BC=BF=AB+AF=AB+CD.

 5. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B$ 是锐角，$AD\perp BC$ 于点 $D$，且 $\angle B = 2\angle C$，$AB = 3.5$，$BD = 1$，求 $DC$ 的长.
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
解：如图 1，在线段 $DC$ 上取一点 $E$，使 $DE = DB$，连接 $AE$.
$\because AD\perp BC$，$DE = DB$，
$\therefore AD$ 垂直平分 $BE$.
$\therefore AB = AE$(依据 1).
$\therefore \angle B = \angle AEB$(依据 2).
$\because \angle B = 2\angle C$，$\therefore \angle AEB = 2\angle C$.
又 $\because \angle AEB = \angle EAC + \angle C$，
$\therefore \angle EAC + \angle C = 2\angle C$.
$\therefore \angle EAC = \angle C$. $\therefore AE = CE$(依据 3).
$\therefore AE = CE = AB$.
$\therefore DC = DE + CE = BD + AB = 1 + 3.5 = 4.5$.
(1) 上述解题过程中的“依据 1”“依据 2”“依据 3”分别指的是什么？
依据 1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
依据 2：等边对等角.
依据 3：等角对等边.
(2) 看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：
解：如图 2，延长 $DB$ 到点 $E$，使 $BE = AB$，连接 $AE$.
……
请根据小亮的思路写出完整的解题过程.

答案： 5. 解:
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 等边对等角 等角对等边
(2)
∵EB=AB,
∴∠E=∠EAB.
∴∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E.
∵∠ABD=2∠C,
∴∠E=∠C.
∴AE=AC.
∵AD⊥BC,
∴DC=ED=EB+BD=AB+BD=3+1.5=4.5.