《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

11. (2023·蚌埠龙子湖区月考)若式子$(A - \frac{3}{a - 1}) \cdot \frac{2a - 2}{a + 2}$的化简结果为$2a - 4$，则整式$A$为(A)

A.$a + 1$
B.$a - 1$
C.$-a - 1$
D.$-a + 1$

答案： A

12. 若$a^{2} - 2a - 15 = 0$，则式子$(a - \frac{4a - 4}{a}) \cdot \frac{a^{2}}{a - 2}$的值是15.

答案： 15

13. (2024·芜湖无为市期末)先化简：$\frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 1} ÷ (1 - \frac{3}{x + 1})$，再从$-3 ＜ x ＜ 3$的范围内选取一个合适的整数$x$代入求值.

答案： 解:原式=$\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}÷\frac{x+1-3}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-1}{x-2}$.
∵$x≠-1$,$x≠1$,$x≠2$.又
∵$-3＜x＜3$,且$x$为整数,
∴$x=-2$或$x=0$.
∴当$x=0$时,原式=$\frac{0-1}{0-2}=\frac{1}{2}$(或当$x=-2$时,原式=$\frac{-2-1}{-2-2}=\frac{3}{4}$).

14. 新考向 推理能力观察以下等式：
第 1 个等式：$\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} × \frac{0}{2} = 1$；
第 2 个等式：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = 1$；
第 3 个等式：$\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} × \frac{2}{4} = 1$；
第 4 个等式：$\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} × \frac{3}{5} = 1$；
第 5 个等式：$\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} × \frac{4}{6} = 1$；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 6 个等式：$\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1$.
(2)写出你猜想的第$n$个等式：$\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}·\frac{n-1}{n+1}=1$($n$为正整数)，并证明.

答案：
(1)$\frac{1}{6}+\frac{5}{7}+\frac{1}{6}×\frac{5}{7}=1$
(2)$\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}·\frac{n-1}{n+1}=1$ 证明:
∵左边=$\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}·\frac{n-1}{n+1}=\frac{n+1+n(n-1)+n-1}{n(n+1)}=1=$右边,
∴原等式成立.

1. 已知$a^{2} - a + 1 = 2$，则$\frac{2}{a^{2} - a} + a - a^{2}$的值为1.

答案： 1

2. (2024·合肥高新区期末)若$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，则分式$\frac{x + xy - y}{y - x} =$$-\frac{1}{2}$.

答案： $-\frac{1}{2}$

3. 如果$m + n = 1$，那么式子$(\frac{2m + n}{m^{2} - mn} + \frac{1}{m}) \cdot (m^{2} - n^{2})$的值为3.

答案： 3

4. 已知$a^{2} + 2a - 3 = 0$，则$(2a - \frac{12a}{a + 2}) ÷ \frac{a - 4}{a^{2} + 4a + 4}$的值为6.

答案： 6

5. 已知$a ＞ b ＞ 0$，且$a^{2} + b^{2} = 3ab$，则$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})^{2} ÷ (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}})$的值是$-\sqrt{5}$.

答案： $-\sqrt{5}$