《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 对于一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在(B)

A.长方形的任意一个顶点处
B.长方形两条对角线的交点处
C.长方形的一条边上
D.长方形的外部

答案： 1.B

2. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 $ A,B,C,D,E,F,G $ 在小正方形的格点上，则 $ \triangle ABC $ 的重心是(A)


A.点 $ D $
B.点 $ E $
C.点 $ F $
D.点 $ G $

答案： 2.A

3. 发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心. 重心是个物理名词. 从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心. 如图 1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心 $ O $ 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态. 为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案.
如图 2，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线，$ \triangle ACD $ 与 $ \triangle ABD $ 等底等高，面积相等，记作 $ S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABD} $.
如图 3，若 $ \triangle ABC $ 的三条中线 $ AD,BE,CF $ 相交于点 $ G $，则 $ GD $ 是 $ \triangle GBC $ 的中线，利用上述结论可得 $ S_{\triangle GCD}=S_{\triangle GBD} $，同理 $ S_{\triangle GBF}=S_{\triangle GAF} $，$ S_{\triangle GAE}=S_{\triangle GCE} $.




(1) 如图 3，设 $ S_{\triangle GCD}=x $，$ S_{\triangle GBF}=y $，$ S_{\triangle GAE}=z $，猜想 $ x,y,z $ 之间的数量关系，并证明你的猜想.
(2) 由 (1) 可知，被三条中线分成的六个三角形面积相等. 如果 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ m $，那么用含有 $ m $ 的式子表示 $ \triangle BGC $ 的面积为$\frac{1}{3}m$，$ BG:GE= $$2:1$.
(3) 如图 4，$ \triangle ABC $ 的两条中线 $ BD,CE $ 相交于点 $ G $，点 $ G $ 是 $ \triangle ABC $ 的重心，$ BD=6 $，$ CE=9 $，$ BD \perp CE $，求四边形 $ AEGD $ 的面积.

答案： 3.解:
(1)猜想:x=y=z.证明:由题意可知,$S_{\triangle CGD}=S_{\triangle BGD}=x$,$S_{\triangle GBF}=S_{\triangle GAF}=y$,$S_{\triangle GAE}=S_{\triangle GCE}=z$,$\because S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$,$\therefore 2y+x=2z+x$.$\therefore y=z$.$\because S_{\triangle CBE}=S_{\triangle ABE}$,$\therefore 2x+z=2y+z$.$\therefore x=y$.$\therefore x=y=z$.
(2)相等　$\frac{1}{3}m$　$2:1$　
(3)$\because$点G是$\triangle ABC$的重心，$\therefore$由
(2)可知,$BG:GD=CG:GE=2:1$.$\because BD=6$,$CE=9$,$\therefore BG=4$,$CG=6$.$\because BD\perp CE$,$\therefore S_{\triangle BGC}=\frac{1}{2}BG\cdot CG=\frac{1}{2}× 4× 6=12$.由
(2)可知,$S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle BGC}=36$,$S_{\triangle BEG}=S_{\triangle CDG}=\frac{1}{2}S_{\triangle BGC}=6$.$\therefore S_{四边形AEGD}=36 - 6 - 6 - 12=12$.

4. 物体受重力作用的作用点叫作这个物体的重心. 例如：一根均匀的木棒，重心是木棒的中点；一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形木板三条中线的交点等等.
(1) 你认为平行四边形的重心位置在哪里？
(2) 现有如图所示的一块均匀模板，请只用无刻度直尺和铅笔画出它的重心.

答案：
4.解:
(1)平行四边形的重心位于两条对角线的交点处.
(2)如图，把模板分成两个长方形，连接各自的重心;把模板重新分成两个长方形，得到连接各自重心的第二条线段，两条线段的交点G即为重心.