《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

4. 先化简，再求值：
(1) $ (2 + a)(2 - a) + a(a + 1) $，其中 $ a = \sqrt{2} - 4 $。
(2) $ (2x - 1)^{2} - (2x + 1)(2x - 1) $，其中 $ x = 2 $。
(3) (2024·甘肃)$ [(2a + b)^{2} - (2a + b)(2a - b)] ÷ (2b) $，其中 $ a = 2 $，$ b = -1 $。

答案： 4.解:
(1)原式=4-a²+a²+a=4+a.当a=$\sqrt{2}$-4时,原式=4+$\sqrt{2}$-4=$\sqrt{2}$.
(2)原式=4x²-4x+1-4x²+1=-4x+2.当x=2时,原式=-4×2+2=-6.
(3)原式=[4a²+4ab+b²-(4a²-b²)]÷(2b)=(4a²+4ab+b²-4a²+b²)÷(2b)=(4ab+2b²)÷(2b)=2a+b.当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.

5. (1) (2024·西宁)先化简，再求值：$ (3a - 1)^{2} - 2a(4a - 1) $，其中 $ a $ 满足 $ a^{2} - 4a + 3 = 0 $。
(2) 已知实数 $ x $ 满足 $ x^{2} - 4x - 1 = 0 $，求 $ (2x - 3)^{2} - (x + y)(x - y) - y^{2} $ 的值。

答案： 5.解:
(1)原式=(9a²-6a+1)-8a²+2a=(9a²-8a²)+(-6a+2a)+1=a²-4a+1.
∵a²-4a+3=0,
∴a²-4a=-3.
∴原式=-3+1=-2.
(2)原式=4x²-12x+9-(x²-y²)=4x²-12x+9-x²+y²=3x²-12x+y².
∵x²-4x-1=0,
∴x²-4x=1.
∴原式=3(x²-4x)+9=3×1+9=12.

6. 已知 $ |m - 1| + \sqrt{n + 2} = 0 $。
(1) 求 $ m $，$ n $ 的值。
(2) 先化简，再求值：$ m(m - 3n) + (m + 2n)^{2} - 4n^{2} $。
类型 3 利用整式的运算进行推理说明

答案： 6.解:
(1)
∵|m-1|+$\sqrt{n+2}$=0,
∴m-1=0,n+2=0,解得m=1,n=-2.
(2)原式=m²-3mn+m²+4mn+4n²-4n²=2m²+mn.当m=1,n=-2时,原式=2×1²+1×(-2)=0.

7. 试说明：式子 $ (a + 1)(a - 1) + a(1 - a) - a $ 的值与 $ a $ 的取值无关。

答案： 7.解:
∵原式=a²-1+a-a²-a=-1,
∴该式子的值与a的取值无关.

8. 发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和。
验证：如 $ (2 + 1)^{2} + (2 - 1)^{2} = 10 $ 为偶数，请把 10 的一半表示为两个正整数的平方和。
探究：设“发现”中的这两个正整数为 $ m $，$ n $，请验证“发现”中的结论。

答案： 8.解:验证:10的一半为5,5=1²+2².探究:(m+n)²+(m-n)²=m²+2mn+n²+m²-2mn+n²=2m²+2n².故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为这两个正整数的平方和.