《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

12. 湖南师大附中校本经典题 阅读下列解题的过程.
分解因式:$ x^4 + 64 $.
解:$ x^4 + 64 = x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 $
$ = (x^2 + 8)^2 - 16x^2 $
$ = (x^2 + 8 + 4x)(x^2 + 8 - 4x) $.
请按照上述解题思路完成下列分解因式:
(1)$ a^4 + 4 $.
(2)$ x^4 - 43x^2y^2 + 81y^4 $.

答案： 解:
(1)原式$=a^{4}+4a^{2}+4-4a^{2}=(a^{2}+2)^{2}-4a^{2}=(a^{2}+2a+2)(a^{2}-2a+2)$.
(2)原式$=x^{4}-18x^{2}y^{2}+81y^{4}-25x^{2}y^{2}=(x^{2}-9y^{2})^{2}-25x^{2}y^{2}=(x^{2}-9y^{2}+5xy)(x^{2}-9y^{2}-5xy)$.

13. 北师大附属实验校本经典题 计算下列各式:
(1)$ 1 - \frac{1}{2^2} = $$-\frac {3}{4}$.
(2)$ (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2}) = $$\frac {2}{3}$.
(3)$ (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) = $$\frac {5}{8}$.
你能根据所学知识找到计算上面的算式的简便方法吗? 请利用你找到的简便方法计算:$ (1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})\cdots(1 - \frac{1}{n^2}) $.

答案： 解:
(1)$-\frac {3}{4}$
(2)$\frac {2}{3}$
(3)$\frac {5}{8}$ 原式$=\frac {1}{2}\cdot \frac {3}{2}\cdot \frac {2}{3}\cdot \frac {4}{3}\cdot ... \cdot \frac {n-1}{n}\cdot \frac {n+1}{n}=\frac {n+1}{2n}$.

14. 新考向 推理能力 已知 $ a,b,c $是互不相等的三个实数,且 $ a = 2b - c $,则下列结论正确的是 (A)

A.$ b^2 - ac ＞ 0 $
B.$ b^2 - ac = 0 $
C.$ b^2 - ac ＜ 0 $
D.$ b^2 - ac \geq 0 $

答案： A

15. 新考向 阅读理解 (2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动,研究了“正整数 $ N $ 能否表示为 $ x^2 - y^2 $($ x,y $均为自然数)”的问题.
(1)指导教师将学生的发现进行整理,部分信息如下($ n $为正整数):

按上表规律,完成下列问题:
①$ 24 = $$7^{2}-5^{2}$;
②$ 4n = $$(n+1)^{2}-(n−1)^{2}$.
(2)兴趣小组还猜测:像 $ 2,6,10,14, \cdots $这些形如 $ 4n - 2 $($ n $为正整数)的正整数 $ N $不能表示为 $ x^2 - y^2 $($ x,y $均为自然数).师生一起研讨,分析过程如下:
假设 $ 4n - 2 = x^2 - y^2 $,其中 $ x,y $均为自然数.
分下列三种情形分析:
①若 $ x,y $均为偶数,设 $ x = 2k,y = 2m $,其中 $ k,m $均为自然数,
则 $ x^2 - y^2 = (2k)^2 - (2m)^2 = 4(k^2 - m^2) $为 $ 4 $的倍数.
而 $ 4n - 2 $不是 $ 4 $的倍数,矛盾.
故 $ x,y $不可能均为偶数;
②若 $ x,y $均为奇数,设 $ x = 2k + 1,y = 2m + 1 $,其中 $ k,m $均为自然数,
则 $ x^2 - y^2 = (2k + 1)^2 - (2m + 1)^2 = $$4(k^{2}-m^{2}+k−m)$为 $ 4 $的倍数.
而 $ 4n - 2 $不是 $ 4 $的倍数,矛盾.
故 $ x,y $不可能均为奇数;
③若 $ x,y $一个是奇数一个是偶数,则 $ x^2 - y^2 $为奇数.
而 $ 4n - 2 $是偶数,矛盾.
故 $ x,y $不可能一个是奇数一个是偶数.
由①②③可知,猜测正确.
阅读以上内容,请在情形②的横线上填写所缺内容.

答案：
(1)①$7^{2}-5^{2}$ ②$(n+1)^{2}-(n-1)^{2}$
(2)$4(k^{2}-m^{2}+k-m)$