《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

3. 如图，已知C为射线AD上一点，∠A=∠B，PA=PB，AP与BC相交于点M. 若∠APB=2∠CPA，求证：BM=AC+CM.

答案： 3. 证明:在 BC 上截取 BG=AC,连接 PG.在△ACP 和△BGP 中,AP=BP,∠A=∠B,AC=BG,
∴△ACP≌△BGP(SAS).
∴∠CPA=∠GPB,PC=PG.
∵∠APB=2∠CPA,
∴∠APB=2∠GPB.又
∵∠APB=∠GPB+∠GPA,
∴∠GPA=∠GPB=∠CPA.在△CPM 和△GPM 中,PC=PG,∠CPM=∠GPM,PM=PM,
∴△CPM≌△GPM(SAS).
∴CM=GM.
∴BM=BG+GM=AC+CM.

4. 【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，试探究线段BE，EF，FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE，EF，FD之间的数量关系是EF=BE+FD.

【探索延伸】
如图2，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立？请说明理由.

答案： 4. 解:【初步探索】EF=BE+FD【探索延伸】结论仍然成立.理由:延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADG.在△ABE 和△ADG 中,BE=DG,∠ABE=∠ADG,AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS).
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=1/2∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.在△EAF 和△GAF 中,AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△EAF≌△GAF(SAS).
∴EF=FG=DG+FD=BE+FD.

5. 如图，已知CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线. 求证：AC=2AE.

答案： 5. 证明:延长 AE 至点 F,使 AE=EF,连接 BF.
∵AE 是△ABD 的中线,
∴BE=DE.在△ADE 和△FBE 中,AE=FE,∠AED=∠FEB,DE=BE,
∴△ADE≌△FBE(SAS).
∴BF=DA,∠FBE=∠ADE.
∵∠BAD=∠BDA,
∴∠ABF=∠ABD+∠FBE=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC.在△ABF 和△CDA 中,AB=CD,∠ABF=∠CDA,BF=DA,
∴△ABF≌△CDA(SAS).
∴AC=AF.
∵AF=2AE,
∴AC=2AE.