《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

11. 已知$a$,$b$,$c$是$\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac = 0$,则$\triangle ABC$是等边三角形.

答案： 11. 等边

12. 分解因式:
(1) $-7m^{3}+14m^{2}n-7mn^{2}$.
(2) $25x^{2}(a - b)+36y^{2}(b - a)$.
(3) $(x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}-(-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}$.

答案： 12. 解:
(1)原式=-7m(m²-2mn+n²)=-7m(m-n)².
(2)原式=25x²(a-b)-36y²(a-b)=(a-b)(25x²-36y²)=(a-b)(5x+6y)(5x-6y).
(3)原式=(x²-y²+z²-x²-y²+z²)(x²-y²+z²+x²+y²-z²)=(2z²-2y²)·2x²=4x²(z-y)(z+y).

13. 新考向 过程性学习 下面是某同学对多项式$(x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4$进行因式分解的过程:
解:设$x^{2}-4x = y$.
则原式$=(y + 2)(y + 6)+4$ (第一步)
$=y^{2}+8y + 16$ (第二步)
$=(y + 4)^{2}$ (第三步)
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$. (第四步)
(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的C(填字母).
A. 提公因式法
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2) 该同学在第四步将$y$用所设的含$x$的式子代换,得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后?
答:不是(填“是”或“不是”). 如果不是,直接写出最后的结果:(x-2)⁴.
(3) 请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1$进行因式分解.

答案： 13. 解:
(1)C
(2)不是 $(x-2)^{4}$
(3)设x²-2x=a.则原式=a(a+2)+1=a²+2a+1=(a+1)²=(x²-2x+1)²=(x-1)^4.

微专题4 利用“十字相乘法”分解因式
【阅读理解】 用“十字相乘法”分解因式$3x^{2}-x - 2$:
(1) 二次项系数$3 = 1×3$;
(2) 常数项$-2 = -1×2 = 1×(-2)$,验算:“交叉相乘之和”;

①$1×2 + 3×(-1)=-1$
②$1×(-1)+3×2 = 5$
③$1×(-2)+3×1 = 1$
④$1×1 + 3×(-2)=-5$
(3) 发现①“交叉相乘之和”的结果$1×2 + 3×(-1)=-1$,等于一次项系数$-1$,即$(x - 1)(3x + 2)=3x^{2}-3x + 2x - 2 = 3x^{2}-x - 2$,则$3x^{2}-x - 2=(x - 1)(3x + 2)$. 像这样,通过十字交叉线把二次三项式分解因式的方法叫“十字相乘法”.
【问题解决】 分解因式:
(1) $x^{2}+5x + 4=$(x+1)(x+4).
(2) $x^{2}-6x + 5=$(x-1)(x-5).
(3) $x^{2}+7x - 8=$(x+8)(x-1).
(4) $x^{2}-6x - 27=$(x-9)(x+3).

答案： 【问题解决】
(1)$(x+1)(x+4)$
(2)$(x-1)(x-5)$
(3)$(x+8)(x-1)$
(4)$(x-9)(x+3)$

【拓展训练】 分解因式:
(1) $2x^{2}+3x + 1=$__________.
(2) $3x^{2}-5x + 2=$__________.

答案： 【拓展训练】
(1)$(2x+1)(x+1)$
(2)$(x-1)(3x-2)$