《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

9. 【整体思想】(2024·济宁)已知$a^{2}-2b + 1 = 0$，则$\frac{4b}{a^{2}+1}$的值是2.

答案： 2

10. (2024·蚌埠蚌山区期末)对于分式$\frac{1 - m^{2}}{1 - m}$的值，下列说法一定正确的是(D)

A.不可能为$0$
B.比$1$大
C.可能为$2$
D.比$m$大

答案： D

11. 通分：
（1）$\frac{1}{x^{2}-4}$，$\frac{3}{2x - 4}$.
（2）$x - y$，$\frac{2y^{2}}{x + y}$.
（3）$\frac{1}{(x - 1)^{2}}$，$\frac{1}{x^{2}-1}$，$\frac{1}{x + 1}$.

答案： 解:
(1)$\frac {1}{x^{2}-4}=\frac {2}{2(x+2)(x-2)}=\frac {2}{2x^{2}-8},\frac {3}{2x-4}=\frac {3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}=\frac {3x+6}{2x^{2}-8}.$
(2)$x-y=\frac {(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac {x^{2}-y^{2}}{x+y},\frac {2y^{2}}{x+y}=\frac {2y^{2}}{x+y}.$
(3)$\frac {1}{(x-1)^{2}}=\frac {x+1}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac {x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1},\frac {1}{x^{2}-1}=\frac {x-1}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac {x-1}{x^{3}-x^{2}-x+1},\frac {1}{x+1}=\frac {(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac {x^{2}-2x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}.$

12. 先化简，再求值：
（1）$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{4}}-\frac{2a^{4}\cdot a}{a^{3}}$，其中$a = - 2$.
（2）$\frac{2x^{2}-2y^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}$，其中$x + y = 2$，$x - y=\frac{1}{2}$.

答案： 解:
(1)原式$=\frac {a^{6}}{a^{4}}-\frac {2a^{5}}{a^{3}}=a^{2}-2a^{2}=-a^{2}$.当$a=-2$时,原式$=-4$.
(2)原式$=\frac {2(x+y)(x-y)}{(x+y)^{2}}=\frac {2(x-y)}{x+y}$.当$x+y=2,x-y=\frac {1}{2}$时,原式$=\frac {2×\frac {1}{2}}{2}=\frac {1}{2}.$

13. 新考向 阅读理解(2024·阜阳实验学校期中)阅读材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为真分数和假分数. 而假分数都可化为带分数，如：$\frac{8}{3}=\frac{6 + 2}{3}=\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=2\frac{2}{3}$. 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式. 如：$\frac{2x + 4}{x + 1}$，$\frac{x^{2}}{x - 1}$，这样的分式就是假分式；再如：$\frac{3}{x + 1}$，$\frac{2x}{x^{2}+1}$，这样的分式就是真分式. 类似地，假分式也可以化为带分式(即整式与真分式的和的形式). 如：$\frac{2x + 4}{x + 1}=\frac{2x + 2 + 2}{x + 1}=\frac{2(x + 1)+2}{x + 1}=2+\frac{2}{x + 1}$；再如：$\frac{x^{2}}{x - 1}=\frac{x^{2}-1 + 1}{x - 1}=\frac{x^{2}-1}{x - 1}+\frac{1}{x - 1}=x + 1+\frac{1}{x - 1}$.
参照上述材料，解答下列问题：
(1)分式$\frac{1}{x}$是真分式(填“真”或“假”).
(2)请将假分式$\frac{5x - 3}{x + 2}$化为带分式的形式.
(3)若分式$\frac{4x^{2}-2}{x - 1}$的值为整数，求满足条件的整数$x$的值.

答案： 解:
(1)真
(2)原式$=\frac {5x+10-13}{x+2}=\frac {5(x+2)-13}{x+2}=5-\frac {13}{x+2}$.
(3)原式$=\frac {4x^{2}-4+4-2}{x-1}=\frac {4(x+1)(x-1)+2}{x-1}=4(x+1)+\frac {2}{x-1}$.
∵分式$\frac {4x^{2}-2}{x-1}$的值为整数,x为整数,
∴x+1为整数.
∴$\frac {2}{x-1}$为整数.
∴整数x的取值为3,2,0,-1.