《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

15. (2024·淮南期末)先化简，再求值：$(2b - a)(a + 2b)+2a^{4}b^{4}÷(-ab^{2})^{2}-(a - 2b)^{2}$，其中$ab=-\frac{1}{2}$。

答案： 15.解:原式$=(2b)^{2}-a^{2}+2a^{4}b^{4}÷a^{2}b^{4}-(a^{2}+4b^{2}-4ab)=4b^{2}-a^{2}+2a^{2}-a^{2}-4b^{2}+4ab=4ab,$当$ab=-\frac{1}{2}$时,原式$=4ab=4×(-\frac{1}{2})=-2.$

16. 石家庄外国语校本经典题 已知$a$，$b$满足$(a + b)^{2}=1$和$(a - b)^{2}=25$，求$a^{2}+b^{2}+ab$的值。

答案： 16.解:
∵$(a+b)^{2}=1,(a-b)^{2}=25,$
∴$a^{2}+b^{2}+2ab=1,a^{2}+b^{2}-2ab=25.$
∴$a^{2}+b^{2}=1-2ab,a^{2}+b^{2}=25+2ab.$
∴1-2ab=25+2ab,解得ab=-6.
∴$a^{2}+b^{2}+ab=1-2ab+ab=1-ab=1-(-6)=7.$

17. (2024·合肥庐阳区期末)【提出问题】
利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”和“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容。
【自主探究】
用直角边分别为$a$和$b$的两个等腰直角三角形进行拼图，由图 1 得到图 2。

(1)请你仔细观察图形变化，解决下列问题。
①图 1 中两个三角形的面积分别为\frac{1}{2}a^{2}和\frac{1}{2}b^{2}，图 2 中长方形$ABCD$的面积为ab。(用含$a$，$b$的代数式表示)
②当$a\neq b$时，比较大小：$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$＞$ab$。(填“$\gt$”或“$\lt$”)
③当$a$和$b$满足什么条件时，$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$与$ab$相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明。乙同学说：我可以通过画图进行说明。请你选择其中一人的方法进行说明。
【知识应用】
(2)已知$m\gt0$，$n\gt1$，且$m(n - 1)=9$，利用(1)中发现的结论求$m^{2}+n^{2}-2n + 1$的最小值。

答案： 17.解$:(1)①\frac{1}{2}a^{2} \frac{1}{2}b^{2} ab ②＞ ③$选择甲同学的方法,当a=b时$,\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=\frac{a^{2}+a^{2}}{2}=a^{2},ab=a·a=a^{2}.$
∴当a=b时$,\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=ab.(2)$设x=m,y=n-1,则xy=m(n-1)=9,
∵$m^{2}+n^{2}-2n+1=m^{2}+(n-1)^{2}=x^{2}+y^{2}≥2xy,$
∴当x=y时,最小值是2xy=2×9=18,即$m^{2}+n^{2}-2n+1$的最小值是18.

18. 石家庄外国语校本经典题 观察下列算式：
$1×2×3×4 + 1 = 5^{2}$；
$2×3×4×5 + 1 = 11^{2}$；
$3×4×5×6 + 1 = 19^{2}$；
……
试说明：当$n$为自然数时，$(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)+1=(n^{2}+5n + 5)^{2}$。

答案： 18.解:
∵左边$=(n+1)(n+4)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+5n+4)(n^{2}+5n+6)+1=[(n^{2}+5n+5)-1][(n^{2}+5n+5)+1]+1=(n^{2}+5n+5)^{2}-1^{2}+1=(n^{2}+5n+5)^{2}=$右边.
∴当n为自然数时$,(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n^{2}+5n+5)^{2}.$