《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 人大附中校本经典题 如图，点 C 是线段 AB 上除点 A，B 外的任意一点，分别以 AC，BC 为边在线段 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE 相交 DC 于点 M，连接 BD 交 CE 于点 N，连接 MN. 求证：

(1) $ AE = BD $.
(2) $ MN // AB $.
【拓展设问】 若 BD 与 AE 相交于点 P，连接 CP，判断下列结论是否正确，对的打“√”，错的打“×”.

(1) $ ∠APD = 60^{\circ} $. (√)
(2) $ △ACM \cong △DCN $. (√)
(3) $ CM = CN $. (√)
(4) $ △CMN $ 是等边三角形. (√)
(5) $ ME = BE $. (×)
(6) PC 平分 $ ∠APB $. (√)

答案： 1.证明:
(1)
∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=∠ECB=60°.
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中,{AC=DC,∠ACE=∠DCB,CE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS).
∴AE=BD.
(2)
∵△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB.
∵∠ACD=∠ECB=60°,且A,C,B三点共线,
∴∠DCN=60°.
∴∠ACM=∠DCN.在△ACM和△DCN中,{∠MAC=∠NDC,AC=DC,∠ACM=∠DCN,
∴△ACM≌△DCN(ASA).
∴MC=NC.
∵∠MCN=60°,
∴△MCN为等边三角形.
∴∠NMC=60°.
∴∠NMC=∠DCA.
∴MN//AB.
【拓展设问】
(1)√
(2)√
(3)√
(4)√
(5)×
(6)√

2. 如图，已知等腰三角形 ACB 和等腰三角形 DCE，$ AC = BC $，$ DC = EC $，$ ∠ACB = ∠DCE $，连接 BD，AE 交于点 F，连接 CF. 求证：
(1) $ AE = BD $.
(2) $ ∠AFB = ∠ACB $.
(3) FC 平分 $ ∠BFE $.

答案： 2.证明:
(1)
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.又
∵AC=BC,DC=EC,
∴△BCD≌△ACE(SAS).
∴AE=BD.
(2)设AC,BD相交于点O.
∵△BCD≌△ACE,
∴∠CAE=∠CBD.又
∵∠AOF=∠BOC,
∴∠AFB=∠ACB.
(3)过点C分别作CM⊥BD于点M,CN⊥EF于点N,则∠BMC=∠ANC=90°.在△BCM和△ACN中,{∠BMC=∠ANC,∠CBM=∠CAN,BC=AC,
∴△BCM≌△ACN(AAS).
∴CM=CN.
∴FC平分∠BFE.

3. 如图，$ △ABC $ 是等边三角形，P 是 $ △ABC $ 外一点，且 $ ∠ABP + ∠ACP = 180^{\circ} $. 求证：$ PB + PC = PA $.

答案： 3.证明:延长PC到点D,使CD=PB,连接AD.
∵∠ABP+∠ACP=180°,∠ACP+∠ACD=180°,
∴∠ABP=∠ACD.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∴△ABP≌△ACD(SAS).
∴AP=AD,∠BAP=∠CAD.
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°,
∴∠CAD+∠PAC=60°,即∠PAD=60°.
∴△PAD是等边三角形.
∴PA=PD=PC+CD.
∴PB+PC=PA.