《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 计算$\frac{a - 1}{a} ÷ (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a})$的结果是(B)

A.$a$
B.$-a$
C.$\frac{1}{a}$
D.$-\frac{1}{a}$

答案： B

2. 计

算

$\frac{x}{y^{3}} ÷ \frac{2x}{y} - (\frac{x}{2y})^{2} \cdot \frac{y}{x}$的结果是(D)

A.$\frac{2 - y}{4y}$
B.$\frac{1}{4y^{2}}$
C.$\frac{1}{4y}$
D.$\frac{2 - xy}{4y^{2}}$

答案： D

3. 计算$(a - \frac{1}{b}) ÷ (\frac{1}{a} - b)$的结果是(A)

A.$-\frac{a}{b}$
B.$\frac{a}{b}$
C.$-\frac{b}{a}$
D.$\frac{b}{a}$

答案： A

4. 计算：
(1)$(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) ÷ \frac{2x}{x^{2} + 2xy + y^{2}} =$$\frac{x+y}{x-y}$.
(2)$(\frac{2m}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}) ÷ \frac{1}{m + 2} =$1.

答案：
(1)$\frac{x+y}{x-y}$
(2)1

5. 化简：
(1)$\frac{x^{2} - 1}{x} ÷ (1 - \frac{1}{x})$.
(2)(2024·河南)$(\frac{3}{a - 2} + 1) ÷ \frac{a + 1}{a^{2} - 4}$.

答案： 解:
(1)原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{x}÷\frac{x-1}{x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x}·\frac{x}{x-1}=x+1$.
(2)原式=$\frac{3+a-2}{a-2}÷\frac{a+1}{(a+2)(a-2)}=\frac{a+1}{a-2}·\frac{(a+2)(a-2)}{a+1}=a+2$.

6. (2024·阜阳一初开学考)先化简，再求值：$\frac{1}{x - 1} ÷ \frac{x + 2}{x^{2} - 2x + 1} - \frac{x}{x + 2}$，其中$x = 2$.

答案： 解:原式=$\frac{1}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{x+2}-\frac{x}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x+2}=-\frac{1}{x+2}$.当$x=2$时,原式=$-\frac{1}{2+2}=-\frac{1}{4}$.

7. 人大附中校本经典题为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条 1000 米的时光隧道，让甲工程队单独做需要$x$天完成，让乙工程队单独做需要$y$天完成$(0 ＜ x ＜ y)$.若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要$\frac{xy}{x+y}$天.

答案： $\frac{xy}{x+y}$

8. 北师大附属实验校本经典题小刚家和小丽家到学校的路程都是 3 km，其中小丽走的是平路，速度为$2v$ km/h.小刚需要走 1 km 的上坡路、2 km 的下坡路，在上坡路上的速度为$v$ km/h，在下坡路上的速度为$3v$ km/h.
(1)小刚从家到学校需要多长时间？
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间更少？少用多长时间？

答案： 解:
(1)
∵小刚走上坡路的时间为$\frac{1}{v}$h,走下坡路的时间为$\frac{2}{3v}$h,
∴小刚从家到学校需要的时间为$\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v}$(h).
(2)小丽花费的时间为$\frac{3}{2v}$h,
∵$\frac{5}{3v}-\frac{3}{2v}=\frac{1}{6v}$(h),
∴小丽花费的时间更少,少用了$\frac{1}{6v}$h.

9. 化简：$\frac{9}{a + 1} ÷ (\frac{2}{a - 1} + \frac{a - 2}{a^{2} - 1}) =$$\frac{3a-3}{a}$.

答案： $\frac{3a-3}{a}$

10. 计算$\frac{a^{2} - 4}{a} ÷ (a + 1 - \frac{5a - 4}{a})$的结果是(A)

A.$\frac{a + 2}{a - 2}$
B.$\frac{a - 2}{a + 2}$
C.$\frac{(a - 2)(a + 2)}{a}$
D.$\frac{a + 2}{a}$

答案： A