《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

母题 两内角平分线的夹角
【例】（教材P22复习题T8节选）如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G.求证：∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

答案： 【例】证明：
∵BE,CF 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线，
∴∠GBC+∠GCB=$\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)$．
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-$\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)$．又
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BGC=180°-$\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠A)=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠A$．

【变式1】如图所示，P是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系.

答案： 【变式 1】解：
∵△ABC 的内角平分线 BP 与外角平分线 CP 交于点 P，
∴∠PBC=$\frac {1}{2}∠ABC$，∠PCD=$\frac {1}{2}∠ACD$．又
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，
∴$\frac {1}{2}(∠A+∠ABC)=∠P+\frac {1}{2}∠ABC$．
∴∠P=$\frac {1}{2}∠A$．

【变式2】如图所示，P是△ABC的两个外角∠EBC和∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A之间的数量关系.

答案： 【变式 2】解：
∵∠EBC=∠ACB+∠A，
∴∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A+∠FCB=180°+∠A．
∵BP，CP 分别是∠EBC，∠FCB 的平分线，
∴∠PBC=$\frac {1}{2}∠EBC$，∠PCB=$\frac {1}{2}∠FCB$．
∴∠PBC+∠PCB=$\frac {1}{2}(∠EBC+∠FCB)=\frac {1}{2}(180^{\circ }+∠A)=90^{\circ }+\frac {1}{2}∠A$．
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°$+\frac {1}{2}∠A)=90^{\circ }-\frac {1}{2}∠A$．