《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

请根据上述材料，画出相应的示意图，并完成下表。

答案： 数学活动1 4　7　8　11

已知：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分。如图所示的是七边形的三角剖分的几种方法。

(1)请画出六边形的一种三角剖分方法，并指出能剖分出多少个三角形。
(2)对于一个 $ n $ 边形的一种三角剖分，若这些三角形的内角总和是 $ 1800^{\circ} $，求 $ n $ 的值。
(3)一个多边形，往往有多种方法进行三角剖分。记 $ n $ 边形三角剖分的方法数为 $ D_{n} $，则当 $ n \geqslant 3 $ 时，$\frac{D_{n + 1}}{D_{n}} = \frac{4n - 6}{n}$。已知 $ D_{3} = 1 $，求五边形的三角剖分方法数 $ D_{5} $。

答案：

(1)如图所示(答案不唯一)，能剖分出4个三角形.
　　　　　　　　　　　　　　
(2)由题意可知，n边形可三角剖分为(n−2)个三角形，这些三角形的内角总和为(n−2)×180°,
∴(n−2)×180=1800,解得n=12.
(3)将n=3代入$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$中,得$\frac{D_4}{D_3}=\frac{4×3-6}{3}=\frac{12-6}{3}=\frac{6}{3}=2$.
∵$D_3=1$,
∴$D_4=2D_3=2×1=2$.将n=4代入$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$中,得$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4-6}{4}=\frac{16-6}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$.
∵$D_4=2$,
∴$D_5=\frac{5}{2}D_4=\frac{5}{2}×2=5$.
∴五边形的三角剖分方法数$D_5=5$.