《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

4. 如图，在 $ △ABC $ 中，$ ∠BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 为 BC 的中点，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 $ BE = AF $. 求证：$ △DEF $ 为等腰直角三角形.

答案： 4.证明:连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形.
∵D为BC的中点,
∴AD=BD=CD,∠ADB=90°,AD平分∠BAC.
∴∠BAD=∠CAD=∠B=45°.在△BDE和△ADF中,{BD=AD,∠B=∠DAF,BE=AF,
∴△BDE≌△ADF(SAS).
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF.
∵∠ADB=90°,∠BDE+∠ADE=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°.
∴△DEF为等腰直角三角形.

5. 如图，$ △ABC $ 为等腰直角三角形，$ ∠BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 是 AC 上一点. 若 $ CE ⊥ BD $ 于点 E，连接 AE. 求证：$ ∠AEB = 45^{\circ} $.

答案： 5.证明:在BE上截取BF=CE,连接AF.
∵∠BAD=∠CED=90°,∠ADB=∠EDC,
∴ ∠ABF = ∠ACE. 在 △ABF 和 △ACE 中,{AB=AC,∠ABF=∠ACE,BF=CE,
∴△ABF≌△ACE(SAS).
∴AF=AE,∠BAF=∠CAE.
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠BAF+∠CAF=∠BAC=90°.
∴△AEF是等腰直角三角形.
∴∠AEB=45°.

6. (本专题 T5 变式) 如图，$ △ABC $ 为等腰直角三角形，$ ∠BAC = 90^{\circ} $，$ AB = AC $，D 是 AC 上一点. 若 $ ∠AEB = 45^{\circ} $，求证：$ CE ⊥ BD $.

答案： 6.证明:过点A作AF⊥AE交BE于点F.
∴∠EAF=∠BAC=90°.
∴∠BAF=∠CAE.
∵∠AEB=45°,
∴∠AFE=∠AEF=45°.
∴AF=AE.又
∵BA=CA,
∴△ABF≌△ACE(SAS).
∴∠ABF=∠ACE.又
∵∠ADB=∠EDC.
∴∠BEC=∠BAC=90°.
∴CE⊥BD.