《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

10. 新考向 真实情境 如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆$CD$与支杆$BC$，$CD = BC$且$\angle BCE = 120^{\circ}$.若$CD$的长度为$50\mathrm{cm}$，则此时$B$，$D$两点之间的距离为(C)

A.$40\mathrm{cm}$
B.$45\mathrm{cm}$
C.$50\mathrm{cm}$
D.$55\mathrm{cm}$
]

答案： C

11. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，点$D$，$E$，$F$分别在$AB$，$BC$，$AC$上.若$\angle 1 = \angle 2$，$\angle DFE = 80^{\circ}$，则$\angle EDF =$(D)

A.$60^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： D

12. (2024·芜湖无为市期末)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC = AC = 12\mathrm{cm}$.现有两点$M$，$N$分别从点$A$，$B$同时出发，沿$\triangle ABC$的边运动，已知点$M$的速度为$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$，点$N$的速度为$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$.当点$N$第一次到达点$A$时，点$M$，$N$同时停止运动，则当点$M$，$N$运动4$\mathrm{s}$后，可得到等边三角形$AMN$.

答案： 4

13. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$CB = CD$，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$E$为$AD$上一点，连接$BD$，$CE$相交于点$F$，$CE// AB$.
（1）判断$\triangle DEF$的形状，并说明理由.
（2）若$AD = 12$，$CE = 8$，求$CF$的长.
]

答案：
(1)△DEF是等边三角形.理由：
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵CE//AB，
∴∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°.
∴∠CED=∠ADB=∠DFE.
∴△DEF是等边三角形.
(2)连接AC.
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是线段BD的垂直平分线.
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠DAC=30°.
∴AE=CE=8.
∴DE=AD-AE=12-8=4.
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4.
∴CF=CE-EF=8-4=4.

14. 如图1，在等边三角形$ABC$中，$D$是边$AB$上的动点，以$CD$为一边，向上作等边三角形$EDC$，连接$AE$.
（1）$\triangle DBC$和$\triangle EAC$全等吗？请说明理由.
（2）求证：$AE// BC$.
（3）如图2，动点$D$运动到边$BA$的延长线上，$\triangle EDC$仍为等边三角形，请问是否仍有$AE// BC$？证明你的猜想.

]

答案：
(1)△DBC≌△EAC.理由：
∵△ABC，△EDC是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC，DC=EC.
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，$\left\{\begin{array}{l} BC=AC,\\ ∠BCD=∠ACE,\\ DC=EC,\end{array}\right.$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
(2)证明：
∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.
(3)仍有AE//BC.证明：
∵△ABC，△EDC为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，$\left\{\begin{array}{l} BC=AC,\\ ∠BCD=∠ACE,\\ DC=EC,\end{array}\right.$
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.