《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

母题: A|清华附中校本经典题 如图, 在△ABC 中,AD,AE 分别是△ABC 的角平分线和高线,∠ABC=α,∠ACB=β(α＜β).
(1)若α=35°,β=55°,则∠DAE=10°.
(2)小明说:“无需给出α,β的具体数值,只需确定β与α的差值,即可确定∠DAE 的度数.”请通过计算验证小明的说法是否正确.

答案：
(1)10°
(2)
∵∠ABC=α,∠ACB=β,
∴∠BAC=180°-α-β.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°-α-β).
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°.
∴∠BAE=90°-α.
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-α)-$\frac{1}{2}$(180°-α-β)=$\frac{1}{2}$(β-α).
∴∠DAE的度数与α,β的具体数值无关,只和β与α的差值有关.
∴小明的说法是正确的.

1. (2023·合肥巢湖市期末)如图,在△ABC 中,∠B=20°,∠ACB=110°,AE 平分∠BAC,AD⊥BD 于点 D,求∠DAE 的度数.

答案： 1.解:在△ABC中,∠B=20°,∠ACB=110°,
∴∠BAC=180°-20°-110°=50°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=25°.
∴∠AEC=∠B+∠BAE=20°+25°=45°.
∵AD⊥BD,
∴∠D=90°.
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-45°=45°.

 2. 如图,在△ABC 中,∠B＜∠C,AD 平分∠BAC,E 为 AD(不与点 A,D 重合)上任意一点,EF⊥BC 于点 F. 若∠B=46°,∠DEF=14°,求∠C 的度数.

答案： 2.解:
∵EF⊥BC,
∴∠EFD=90°.
∴∠EDF=90°-∠DEF=76°.
∵∠B=46°,
∴∠BAD=∠EDF-∠B=30°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°.
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-46°-60°=74°.

 3. 如图,在△ABC 中,点 D,E 在边 BC 上,AD 平分∠BAC,F 为 DA 延长线上一点,FE⊥BC,∠B=35°,∠C=65°,则∠DFE 的度数为15°.

答案： 15°

 4. (2024·淮南潘集区期中)如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC(∠C＞∠B),F 为 AE 延长线上一点,且 FD⊥BC 于点 D,试找出∠EFD 与∠B,∠C 之间的数量关系.

答案： 4.解:∠EFD=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).理由如下:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=180°-(∠B+∠C),
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$[180°-(∠B+∠C)].
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+$\frac{1}{2}$[180°-(∠B+∠C)]=90°+$\frac{1}{2}$(∠B-∠C).又
∵FD⊥BC,
∴∠FDE=90°.
∴∠EFD=90°-[90°+$\frac{1}{2}$(∠B-∠C)]=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).