《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

【例】（教材 P118 习题 T7 变式）已知 $a + b = 6$，$ab = 2$，求下列各式的值。
（1）$a^{2} + b^{2}$。
（2）$(a - b)^{2}$。
（3）$a^{2} - ab + b^{2}$。
（4）$a^{2} + ab + b^{2}$。

答案： （1）因为$a + b = 6$，所以$(a + b)^2 = 6^2 = 36$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 36$。又因为$ab = 2$，所以$a^2 + b^2 = 36 - 2ab = 36 - 2×2 = 32$。
（2）由（1）知$a^2 + b^2 = 32$，所以$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 32 - 2×2 = 28$。
（3）$a^2 - ab + b^2 = (a^2 + b^2) - ab = 32 - 2 = 30$。
（4）$a^2 + ab + b^2 = (a^2 + b^2) + ab = 32 + 2 = 34$。
（1）32；（2）28；（3）30；（4）34。

 【变式】已知 $x + y = 6$，$xy = 3$，求下列各式的值。
（1）$x^{2} + 4xy + y^{2}$。
（2）$x^{4} + y^{4}$。

答案： （1）因为$x + y = 6$，所以$(x + y)^2 = 6^2 = 36$，即$x^2 + 2xy + y^2 = 36$。又因为$xy = 3$，所以$x^2 + y^2 = 36 - 2xy = 36 - 2×3 = 30$。则$x^2 + 4xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 4xy = 30 + 4×3 = 30 + 12 = 42$。
（2）由（1）知$x^2 + y^2 = 30$，所以$(x^2 + y^2)^2 = 30^2 = 900$，即$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 900$。因为$xy = 3$，所以$x^2y^2 = (xy)^2 = 3^2 = 9$，则$x^4 + y^4 = 900 - 2x^2y^2 = 900 - 2×9 = 900 - 18 = 882$。
（1）42；（2）882

1. 已知 $a - b = 3$，$ab = 2$，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值是(B)

A.3
B.13
C.9
D.11

答案： B

2. 已知 $(x + y)^{2} = 1$，$(x - y)^{2} = 49$，则 $xy =$ -12。

答案： -12

3. 若 $4a^{2} + b^{2} = 57$，$ab = 6$，则 $2a + b$ 的值为±9。

答案： ±9

4. 若 $m - n = 4$，$mn = - 3$，则 $(m^{2} - 4)(n^{2} - 4)$ 的值为-15。

答案： -15

5. 已知 $a + b = 8$，$a^{2}b^{2} = 4$，则 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - ab =$ 28 或 36。

答案： 28 或 36

6. (2024·芜湖无为市期末)通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。
图 1 是一个长为 $2a$，宽为 $2b$ 的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图 2 的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图 2 中阴影部分的正方形的边长是a - b。
(2)请用两种不同的方法表示图 2 中阴影部分的面积：
方法 1：(a - b)²。
方法 2：(a + b)² - 4ab。
(3)观察图 2，请你写出 $(a + b)^{2}$，$(a - b)^{2}$，$ab$ 之间的等量关系是(a - b)² = (a + b)² - 4ab。
(4)如图 3，$C$ 是线段 $AB$ 上的一点，以 $AC$，$BC$ 为边向两边作正方形，面积分别是 $S_{1}$ 和 $S_{2}$。若 $AB = 9$，两正方形的面积之和 $S_{1} + S_{2} = 51$，求 $\triangle ACF$ 的面积。

答案：
(1)$a - b$
(2)$(a - b)^{2}$ $(a + b)^{2} - 4ab$
(3)$(a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab$
(4)设$AC=a$,$BC=b$,则$a+b=9$,$a^{2}+b^{2}=51$.$\because (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$,$\therefore 9^{2}=51+2ab$,即$ab=15$.$\therefore S_{\triangle ACF}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×15=\frac{15}{2}$.