《2025年名校课堂八年级数学上册人教版安徽专版》

探究活动：
(1)探究规律：
$15^{2}=15×15=225=(1×2)×100+25$；
$25^{2}=25×25=625=(2×3)×100+25$；
$35^{2}=35×35=1225=(3×4)×100+25$；
$45^{2}=$45×45=2025=(4×5)×100+25；
……
(2)猜想规律：$\overline {a5}^{2}=$100a(a+1)+25.(注：$\overline {a5}$表示十位上数字是 a，个位上数字是 5 的两位数，$\overline {a5}^{2}$表示此两位数的平方)
(3)推理说明：$\overline {a5}^{2}$是 25 的倍数.

答案：
(1)45×45=2025=(4×5)×100+25
(2)100a(a+1)
(3)
∵$\overline{a5}^2=100a(a+1)$+25=100$a^2$+100a+25=25(4$a^2$+4a+1)=25(2a+1)$^2$,
∴$\overline{a5}^2$是 25 的倍数.

在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分. 而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了. 有一种用“分解因式法”产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式. 例如：将多项式 $x(x^{2}-y^{2})-2y(x^{2}-y^{2})$ 分解因式的结果为 $(x - y)(x + y)(x - 2y)$，当 $x = 16$，$y = 2$ 时，$x - y = 14$，$x + y = 18$，$x - 2y = 12$，此时可以得到 6 个六位数的数字密码：141812；141218；181412；181214；121418；121814.
(1) 根据上述方法，当 $x = 25$，$y = 2$ 时，将多项式 $x^{3}-9xy^{2}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
(2) 小敏同学设计的多项式为 $a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}$，根据上述方法，当 $a = 14$，$b = 2$ 时，写出将多项式 $a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}$ 分解因式后形成的八位数的数字密码.（写出一个即可）
(3) 自己写一个多项式，并用上述方法生成一个数字密码.

答案： 数学活动2 利用因式分解生成密码 解：
(1)$x^{3}-9xy^{2}=x(x^{2}-9y^{2})=x(x-3y)(x+3y)$.当$x=25,y=2$时，$x-3y=19$，$x+3y=31$.
∴可得数字密码是251931，253119，192531.（答案不唯一）
(2)$a^{4}-8a^{2}b^{2}+16b^{4}=(a^{2}-4b^{2})^{2}=(a+2b)^{2}(a-2b)^{2}$.当$a=14,b=2$时，$a+2b=18$，$a-2b=10$.
∴八位数的数字密码为18181010.（答案不唯一）
(3)答案不唯一，例如：$m^{3}-2m^{2}n+mn^{2}=m(m^{2}-2mn+n^{2})=m(m-n)^{2}$.当$m=16,n=1$时，$m-n=15$，六位数的数字密码为161515.