《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

12. (8分)[2025连云港期中]如图,$\odot O$的弦AB,CD的延长线相交于点P,且$PA= PC$.求证:$AB= CD.$

答案： 解：连接$AC$。
因为$PA = PC$，所以$\angle A=\angle C$。
在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角为$\angle A$和$\angle C$。
根据圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，反之，相等的圆周角所对的弧相等。
所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
再根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，所以$AB = CD$。
综上，$AB = CD$得证。

13. (8分)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分$∠ABC,$$∠BAC= ∠ADB$.求证:BD为圆的直径.

答案： 解：
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle CBD$。
又因为$\angle BAC = \angle ADB$，$\angle CBD=\angle CAD$（同弧所对的圆周角相等），所以$\angle BAC=\angle CAD$。
则$\angle BAD=\angle BAC + \angle CAD = 2\angle BAC$，$\angle ABD=\angle CBD$，$\angle ADB=\angle BAC$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ABD+\angle BAD+\angle ADB = 180^{\circ}$，即$\angle ABD + 2\angle BAC+\angle ADB = 180^{\circ}$，把$\angle ABD=\angle CBD$，$\angle ADB=\angle BAC$代入得$2\angle ABD + 2\angle ADB = 180^{\circ}$，所以$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAD = 90^{\circ}$。
因为$\angle BAD$是圆周角，其所对的弦$BD$，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反之，$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径，所以$BD$为圆的直径。

14. (14分)如图,四边形ABCD内接于$\odot O,$AB,DC的延长线交于点F,AD,BC的延长线交于点G,若$∠F= 30^{\circ },∠G= 50^{\circ }$,求$∠A$的度数.

答案： 解：
因为四边形$ABCD$内接于$\odot O$，所以$\angle FBC=\angle A$，$\angle DCG = \angle A$。
在$\triangle FBC$中，$\angle FBC = 180^{\circ}-\angle F - \angle BCF$；在$\triangle DCG$中，$\angle DCG = 180^{\circ}-\angle G - \angle CGD$。
又因为$\angle BCF+\angle BCD = 180^{\circ}$，$\angle CGD+\angle BCD = 180^{\circ}$，所以$\angle BCF=\angle CGD$。
设$\angle A = x$，则$\angle FBC = x$，$\angle DCG = x$。
在$\triangle FBC$中，$\angle BCF = 180^{\circ}-x - 30^{\circ}$；在$\triangle DCG$中，$\angle CGD = 180^{\circ}-x - 50^{\circ}$。
因为$\angle BCF=\angle CGD$，所以$180 - x - 30=180 - x - 50$（此路不通，换方法）。
根据圆内接四边形的性质：$\angle A+\angle ABC+\angle BCD+\angle CDA = 360^{\circ}$，且$\angle FBC+\angle ABC = 180^{\circ}$，$\angle DCG+\angle BCD = 180^{\circ}$。
又因为$\angle FBC=\angle A$，$\angle DCG = \angle A$，$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle G = 50^{\circ}$。
在$\triangle FCG$中，$\angle FCG=180^{\circ}-\angle F - \angle G=180 - 30 - 50 = 100^{\circ}$。
而$\angle FCG+\angle BCD = 180^{\circ}$，所以$\angle BCD = 80^{\circ}$。
在$\triangle ADG$中，$\angle A+\angle G+\angle ADG = 180^{\circ}$，$\angle ADG+\angle BCD = 180^{\circ}$（圆内接四边形外角等于内对角），所以$\angle ADG = 80^{\circ}$。
则$\angle A=180^{\circ}-\angle G-\angle ADG=180 - 50 - 80 = 50^{\circ}$。
综上，$\angle A$的度数为$50^{\circ}$。

15. (15分)新考向传统文化如图①,“筒车”是一种以水流作动力,取水灌田的工具,据史料记载,它发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史,是我国古代劳动人民的一项伟大创造.如图②,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O始终在水面上方,且当圆被水面截得的弦AB为6m时,水面下盛水筒的最大深度为1m(即水面下方圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径.
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6m变为8m时,则水面上涨的高度为多少米?

答案： 1. （1）
设圆$O$的半径为$r$，过点$O$作$OC\perp AB$于点$D$，交$\odot O$于点$C$。
根据垂径定理，$AD = \frac{1}{2}AB$（垂直于弦的直径平分弦），已知$AB = 6m$，则$AD=\frac{1}{2}×6 = 3m$。
设$OD=r - 1$（因为水面下盛水筒的最大深度为$1m$）。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，即$r^{2}=3^{2}+(r - 1)^{2}$。
展开$(r - 1)^{2}$得$r^{2}=9+r^{2}-2r + 1$。
移项可得：$r^{2}-r^{2}+2r=9 + 1$。
合并同类项得$2r=10$，解得$r = 5m$。
2. （2）
当$AB = 8m$时，过点$O$作$OE\perp AB$于点$E$，交$\odot O$于点$F$。
由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4m$，$OA = 5m$。
在$Rt\triangle AOE$中，根据勾股定理$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}$。
把$OA = 5m$，$AE = 4m$代入得$OE=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3m$。
原来$OD=r - 1=5 - 1 = 4m$。
水面上涨的高度$h=OD - OE$。
把$OD = 4m$，$OE = 3m$代入得$h = 4-3=1m$。
综上，（1）圆的半径为$5m$；（2）水面上涨的高度为$1m$。