《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= ax^{2}+2x+c与x轴分别交于点A(1,0)和点B$,与$y轴交于点C(0,-3)$,连接$BC$.
(1)求抛物线的解析式及点$B$的坐标；
(2)点$P为线段BC$上的一个动点(点$P不与点B$,$C$重合),过点$P作y轴的平行线交抛物线于点Q$,求线段$PQ$长度的最大值.

答案： 1. 解：
(1)把点A(1,0)和点C(0, - 3)的坐标分别代入y = ax²+2x + c，得{c = - 3,a + 2×1 + c = 0,解得{a = 1,c = - 3,
∴y = x²+2x - 3。当y = 0时，x²+2x - 3 = 0，解得x₁ = 1,x₂ = - 3,
∴B(-3,0)。
(2)设直线BC的解析式为y = kx + b，把点B(-3,0)和点C(0, - 3)的坐标分别代入，得{b = - 3,-3k + b = 0,解得{k = - 1,b = - 3,
∴y = - x - 3。设点P(m, - m - 3)(-3 ＜ m ＜ 0)，则Q(m,m²+2m - 3)，
∴PQ = (-m - 3)-(m²+2m - 3)= - m²-3m = -(m + $\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{4}$，
∴当m = - $\frac{3}{2}$时，PQ的长度取最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。

2. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)$,$B(3,0)$,与$y轴交于点C$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点$Q$,使$\triangle ACQ$的周长最小,求点$Q$的坐标.

答案： 2. 解：
(1)将点A(-1,0),B(3,0)的坐标分别代入y = ax²+bx - 3，得{a - b - 3 = 0,9a + 3b - 3 = 0,解得{a = 1,b = - 2,
∴抛物线的解析式为y = x²-2x - 3。
(2)
∵y = x²-2x - 3=(x - 1)²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x = 1。连接CB交对称轴于点Q，易知此时△ACQ的周长最小，易得C(0, - 3)，设直线BC的解析式为y = kx + b₁，
∴{b₁ = - 3,3k + b₁ = 0,解得{k = 1,b₁ = - 3,
∴y = x - 3，当x = 1时，y = 1 - 3 = - 2。
∴Q(1, - 2)。

3. 如图①,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a＜0)与x轴分别交于点A和点B(1,0)$,与$y轴正半轴交于点C$,对称轴为直线$x= -1$,且$OA= OC$,$P$为抛物线上一动点.
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图②,连接$AC$,当点$P在直线AC$上方时,求四边形$PABC$面积的最大值,并求出此时点$P$的坐标.

答案：
3. 解：
(1)抛物线的解析式为y = - x²-2x + 3。
(2)如图，连接OP。设P(m, - m²-2m + 3)(-3 ＜ m ＜ 0)，易知OA = OC = 3,OB = 1。
∴四边形PABC的面积=S△PAO+S△POC+S△OBC=$\frac{1}{2}$×3×(-m²-2m + 3)+$\frac{1}{2}$×3×(-m)+$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{3}{2}$(-m²-3m + 4)= - $\frac{3}{2}$(m + $\frac{3}{2}$)²+$\frac{75}{8}$。
∵ - $\frac{3}{2}$ ＜ 0，
∴当m = - $\frac{3}{2}$时，四边形PABC的面积最大，最大值为$\frac{75}{8}$，此时P(-$\frac{3}{2}$,$\frac{15}{4}$)。