《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

10. [2024陕西中考]已知一个二次函数$y= ax^{2}+bx + c的自变量x与函数y$的几组对应值如下表：
|$x$|…$$|$-4$|$-2$|$0$|$3$|$5$|…$$|
|$y$|…$$|$-24$|$-8$|$0$|$-3$|$-15$|…$$|
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)
A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时,$y的值随x$值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x = 1$

答案： D

11. 如图,已知抛物线$y= ax^{2}+bx + c经过点(-2,0)$,且顶点在直线$x = 2$上,则$\frac{b}{c}$的值为(D)
A.$3$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： D

12. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx - 3与y轴交于点C$,与$x轴交于A$,$B$两点,且$OB = OC = 3OA$,则该抛物线的解析式是$ y=x^{2}-2x-3 $.

答案： $ y=x^{2}-2x-3 $

13. 已知二次函数$y= x^{2}+mx + n的图象经过点(2,4)$,且其顶点在直线$y= 2x + 1$上,则该二次函数的解析式为$ y=x^{2}-2x+4 $.

答案： $ y=x^{2}-2x+4 $

14. [2024徐州中考]如图,$A$,$B为一次函数y= -x + 5的图象与二次函数y= x^{2}+bx + c$的图象的公共点,点$A$,$B的横坐标分别为0$,$4$.$P为二次函数y= x^{2}+bx + c$的图象上的动点,且位于直线$AB$的下方,连接$PA$,$PB$.
(1)求$b$,$c$的值；
(2)求$\triangle PAB$的面积的最大值.

答案： 解：
(1)对于$ y=-x+5 $，当$ x=0 $时，$ y=0+5=5 $；当$ x=4 $时，$ y=-4+5=1 $，则$ A(0,5) $，$ B(4,1) $，将A，B的坐标代入$ y=x^{2}+bx+c $，
得$ \left\{\begin{array}{l} c=5,\\ 16+4b+c=1,\end{array}\right. $解得$ \left\{\begin{array}{l} c=5,\\ b=-5.\end{array}\right. $
(2)由
(1)得$ y=x^{2}-5x+5 $，设$ P(m,m^{2}-5m+5) $，作$ PE// OA $交AB于E，则$ E(m,-m+5) $，则$ PE=4m-m^{2} $，
∴$ S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}(4m-m^{2})× (4-0)=-2(m-2)^{2}+8 $，
∴当$ m=2 $时，$ S_{\triangle ABP} $取得最大值，最大值为8.

15. 新视角 存在性探究题 如图,抛物线$y= x^{2}+bx + c经过点A(-1,0)$,点$B(2,-3)$,与$y轴交于点C$,抛物线的顶点为$D$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点$C$,$D$的坐标；
(3)抛物线上是否存在点$P$,使$\triangle PBC的面积是\triangle BCD面积的4$倍？若存在,请直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 解：
(1)
∵抛物线$ y=x^{2}+bx+c $经过点$ A(-1,0) $，点$ B(2,-3) $，
∴$ \left\{\begin{array}{l} 1-b+c=0,\\ 4+2b+c=-3,\end{array}\right. $解得$ \left\{\begin{array}{l} b=-2,\\ c=-3,\end{array}\right. $
∴抛物线的解析式为$ y=x^{2}-2x-3 $.
(2)
∵$ y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4 $，
∴点D的坐标为$(1,-4)$，
令$ x=0 $，则$ y=x^{2}-2x-3=-3 $，
∴点C的坐标为$(0,-3)$.
(3)存在，点P的坐标为$(1+\sqrt{5},1)$或$(1-\sqrt{5},1)$.