《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 由方程$x(x - 1) = 0$可以得到的方程是(A)
A.$x = 0或x - 1 = 0$
B.$x = 0$
C.$x - 1 = 0$
D.$x + 1 = 0$

答案： A

2. [2025广州月考]方程$(x - 3)(x + 2) = 0$的根是(B)
A.$x_1 = 3,x_2 = 2$
B.$x_1 = 3,x_2 = - 2$
C.$x_1 = - 3,x_2 = - 2$
D.$x_1 = - 3,x_2 = 2$

答案： B

3. [2024贵州中考]一元二次方程$x^2 - 2x = 0$的解是(B)
A.$x_1 = 3,x_2 = 1$
B.$x_1 = 2,x_2 = 0$
C.$x_1 = 3,x_2 = - 2$
D.$x_1 = - 2,x_2 = - 1$

答案： B

4. 用因式分解法解一元二次方程$(3x - 4)^2 - 25 = 0$时,要转化成两个一元一次方程求解,其中的一个方程是$3x - 4 + 5 = 0$,则另一个方程是3x-4-5=0.

答案： 3x-4-5=0

5. 用因式分解法解下列方程:
(1)$3x^2 + 2x = 0$;
(2)$x^2 + 5\sqrt{3}x = 0$;
(3)$2x^2 - 12x = - 18$;
(4)$4x^2 - 49 = 0$;
(5)$(2x - 5)^2 - 9 = 0$;
(6)$(x + 3)^2 = (1 - 2x)^2$.

答案： $(1)$ 解方程$3x^{2}+2x = 0$
解：提取公因式$x$，得$x(3x + 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$3x+2 = 0$。
由$3x + 2 = 0$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以$x_{1}=0$，$x_{2}=-\frac{2}{3}$。
$(2)$ 解方程$x^{2}+5\sqrt{3}x = 0$
解：提取公因式$x$，得$x(x + 5\sqrt{3})=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x + 5\sqrt{3}=0$。
由$x + 5\sqrt{3}=0$，解得$x=-5\sqrt{3}$。
所以$x_{1}=0$，$x_{2}=-5\sqrt{3}$。
$(3)$ 解方程$2x^{2}-12x=-18$
解：移项化为标准形式$2x^{2}-12x + 18 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-6x + 9 = 0$。
根据完全平方公式$a^2-2ab + b^2=(a - b)^2$，这里$a = x$，$b = 3$，则$(x - 3)^{2}=0$。
所以$x_{1}=x_{2}=3$。
$(4)$ 解方程$4x^{2}-49 = 0$
解：根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2x$，$b = 7$，则$(2x + 7)(2x - 7)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$2x+7 = 0$或$2x - 7 = 0$。
由$2x + 7 = 0$，解得$x=-\frac{7}{2}$；由$2x - 7 = 0$，解得$x=\frac{7}{2}$。
所以$x_{1}=-\frac{7}{2}$，$x_{2}=\frac{7}{2}$。
$(5)$ 解方程$(2x - 5)^{2}-9 = 0$
解：根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 2x - 5$，$b = 3$，则$(2x - 5 + 3)(2x - 5 - 3)=0$，即$(2x - 2)(2x - 8)=0$。
提取公因式得$2(x - 1)×2(x - 4)=0$，即$4(x - 1)(x - 4)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x - 1 = 0$或$x - 4 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=4$。
$(6)$ 解方程$(x + 3)^{2}=(1 - 2x)^{2}$
解：移项得$(x + 3)^{2}-(1 - 2x)^{2}=0$。
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = x + 3$，$b = 1 - 2x$，则$(x + 3+1 - 2x)(x + 3-(1 - 2x))=0$，即$(4 - x)(3x + 2)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$4 - x = 0$或$3x + 2 = 0$。
由$4 - x = 0$，解得$x = 4$；由$3x + 2 = 0$，解得$x=-\frac{2}{3}$。
所以$x_{1}=4$，$x_{2}=-\frac{2}{3}$。
综上，答案依次为：$(1)x_{1}=0$，$x_{2}=-\frac{2}{3}$；$(2)x_{1}=0$，$x_{2}=-5\sqrt{3}$；$(3)x_{1}=x_{2}=3$；$(4)x_{1}=-\frac{7}{2}$，$x_{2}=\frac{7}{2}$；$(5)x_{1}=1$，$x_{2}=4$；$(6)x_{1}=4$，$x_{2}=-\frac{2}{3}$。

6. 下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是(B)
A.$(x - 2)(x + 5) = 2$
B.$(x - 2)^2 = x - 2$
C.$x^2 + 5x - 2 = 0$
D.$12(2 - x)^2 = 3$

答案： B

7. 在下列各题的横线上填写适当的解法.
(1)解方程$(x - 3)^2 = 4$,用直接开平方法较适宜;
(2)解方程$2x^2 - 5x + 1 = 0$,用公式法较适宜;
(3)解方程$x(x + 4) = 2(x + 4)$,用因式分解法较适宜.

答案：
(1)直接开平方
(2)公式
(3)因式分解

8. 用适当的方法解下列方程:
(1)$2(x - 1)^2 = 8$;
(2)$x^2 + 2x - 4 = 0$;
(3)$(x - 4)^2 + x(x - 4) = 0$;
(4)$2x^2 - 3x + 1 = 0$.

答案： $(1)$ 解方程$2(x - 1)^2 = 8$
解：
方程两边同时除以$2$得：$(x - 1)^2 = 4$
根据平方根的定义$a^2=b(b\geq0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，可得：
$x - 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
当$x - 1 = 2$时，$x = 2 + 1=3$；
当$x - 1=-2$时，$x=-2 + 1=-1$。
所以$x_1 = 3$，$x_2=-1$。
$(2)$ 解方程$x^2 + 2x - 4 = 0$
解：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
在方程$x^2 + 2x - 4 = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-4$。
先计算判别式$\Delta=b^2 - 4ac=(2)^2-4×1×(-4)=4 + 16 = 20$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$。
所以$x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$。
$(3)$ 解方程$(x - 4)^2 + x(x - 4) = 0$
解：
提取公因式$(x - 4)$得：$(x - 4)(x - 4 + x)=0$，即$(x - 4)(2x - 4)=0$。
则$x - 4 = 0$或$2x - 4 = 0$。
当$x - 4 = 0$时，$x = 4$；
当$2x - 4 = 0$时，$2x = 4$，$x = 2$。
所以$x_1 = 4$，$x_2 = 2$。
$(4)$ 解方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$
解：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c = 0(a\neq0)$，可使用因式分解法，将方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$因式分解为$(2x - 1)(x - 1)=0$。
则$2x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$。
当$2x - 1 = 0$时，$2x = 1$，$x=\frac{1}{2}$；
当$x - 1 = 0$时，$x = 1$。
所以$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。
综上，答案依次为：$(1)x_1 = 3$，$x_2=-1$；$(2)x_1=-1+\sqrt{5}$，$x_2=-1-\sqrt{5}$；$(3)x_1 = 4$，$x_2 = 2$；$(4)x_1=\frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。

9. 若矩形$ABCD$的两邻边长分别为一元二次方程$(x - 3)(x - 4) = 0$的两个实数根,则矩形$ABCD$的对角线长为(C)
A.$\sqrt{7}$
B.4
C.5
D.10

答案： C