《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

3. 如图,抛物线$y= x^{2}+bx+c经过点(-2,5)和(2,-3)$,与两坐标轴的交点分别为$A$,$B$,$C$,它的对称轴为直线$l$。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)$P$是该抛物线上的点,过点$P作l$的垂线,垂足为$D$,$E是l$上的点。是否存在以$P$,$D$,$E为顶点的三角形与\triangle BOC$全等？若存在,求出点$P$、点$E$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 3. 解：
(1)将点(-2,5)和(2,-3)的坐标分别代入y=x²+bx+c，
得{4-2b+c=5,4+2b+c=-3,解得{b=-2,c=-3,
∴该抛物线的解析式为y=x²-2x-3.
(2)存在.在y=x²-2x-3中，令y=0，则x=3或x=-1，令x=0，则y=-3，
∴点A，B的坐标分别为(-1,0)，(3,0)，点C的坐标为(0,-3).
∴OB=OC=3.
由点A，B的坐标易求得抛物线的对称轴为直线x=1，
根据题意，可知∠PDE=∠BOC=90°，
则当PD=DE=3时，以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等.
设点P(m,n)，当点P在抛物线对称轴右侧时，m-1=3，解得m=4，
∴n=4²-2×4-3=5，
∴点P(4,5)，
∴点E(1,2)或(1,8)；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P(-2,5)，此时点E坐标同上.
综上所述，点P的坐标为(4,5)或(-2,5)，点E的坐标为(1,2)或(1,8).

4. 如图,抛物线$y= -x^{2}+bx+c与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,顶点为$D$,已知直线$BC的解析式为y= -x+3$。
(1)求抛物线的解析式。
(2)求点$D到直线BC$的距离。
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点$P$,使得$\triangle PCD$是等腰三角形？若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 4. 解：
(1)在y=-x+3中，令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
令y=0，则x=3，
∴B(3,0).
将B(3,0)，C(0,3)的坐标分别代入y=-x²+bx+c，
得{c=3,-9+3b+c=0,解得{b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3.
(2)
∵y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4，
∴D(1,4).连接CD，BD.
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴BC=3√2，BD=2√5，CD=√2.
∴BD²=BC²+CD²，
∴△BCD是直角三角形，且∠DCB=90°.
∴点D到直线BC的距离为CD的长，即为√2.
(3)存在点P，使得△PCD是等腰三角形.
∵y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设P(1,t)，
∵D(1,4) ,C(０,3)，
∴PC=√[1+(t-3)²],PD=|t-4|，
由
(2)知CD=√2，
当PC=PD时，√[１+(t-3)²]=|t-4|，解得t=3，
∴P(1,3)；
当PC=CD时，√[1+(t-3)²]=√２，解得t=2或t=4(舍去)，
∴P(1,2)；当PD=CD时，|t-4|=√2，
解得t=4+√2或t=4-√2，
∴P(１,4+√2)或(1,4-√２).
综上所述，点P的坐标为(1,2)或(1,3)或(1,4+√2)或(1,4-√2).