《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

5. 新考法阅读类比法阅读下面的材料,解答问题.
解含绝对值的方程：$x^{2}-3|x|-10= 0$.
解：分两种情况：
①当$x \geqslant 0$时,原方程可化为$x^{2}-3 x-10= 0$,
解得$x_{1}= 5, x_{2}= -2$(舍去)；
②当$x＜0$时,原方程可化为$x^{2}+3 x-10= 0$,
解得$x_{3}= -5, x_{4}= 2$(舍去).
综上所述,原方程的解是$x_{1}= 5, x_{2}= -5$.
请参照上述方法解方程$x^{2}-|x+1|-1= 0$.

答案： 5. 解：分两种情况：
①当$x+1\geq0$,即$x\geq-1$时，
原方程可化为$x^{2}-(x+1)-1=0$,
整理，得$x^{2}-x-2=0$,
解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$;
②当$x+1＜0$,即$x＜-1$时，
原方程可化为$x^{2}+(x+1)-1=0$,
整理，得$x^{2}+x=0$,
解得$x_{3}=-1$(舍去),$x_{4}=0$(舍去).
综上所述，原方程的解是$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.

6. 阅读材料,解答问题.
解方程：$(4 x-1)^{2}-10(4 x-1)+24= 0$.
解：把$4 x-1$视为一个整体,设$4 x-1= y$,
则原方程可化为$y^{2}-10 y+24= 0$,
解得$y_{1}= 6, y_{2}= 4$.
$\therefore 4 x-1= 6或4 x-1= 4$.
$\therefore x_{1}= \frac{7}{4}, x_{2}= \frac{5}{4}$.
以上方法就叫做“换元法”,达到了简化或降次的目的,体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程：
(1)$x^{4}-x^{2}-6= 0$；
(2)$\left(x^{2}-2 x\right)^{2}-5 x^{2}+10 x-6= 0$；
(3)已知$\left(x^{2}+y^{2}+1\right)\left(x^{2}+y^{2}+3\right)= 8$,求$x^{2}+y^{2}$的值.

答案： 6. 解：
(1)设$x^{2}=a$,则原方程化为$a^{2}-a-6=0$,解得$a_{1}=3$,$a_{2}=-2$.当$a=3$时，$x^{2}=3$,$\therefore x=\pm\sqrt{3}$;当$a=-2$时，$x^{2}=-2$,无实数根.
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\sqrt{3}$,$x_{2}=-\sqrt{3}$.
(2)设$x^{2}-2x=y$,则原方程化为$y^{2}-5y-6=0$,解得$y_{1}=6$,$y_{2}=-1$.当$y=6$时，$x^{2}-2x=6$,解得$x_{1}=1+\sqrt{7}$,$x_{2}=1-\sqrt{7}$;当$y=-1$时，$x^{2}-2x=-1$,解得$x_{3}=x_{4}=1$.综上所述，原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt{7}$,$x_{2}=1-\sqrt{7}$,$x_{3}=x_{4}=1$.
(3)令$m=x^{2}+y^{2}$,则$m\geq0$,
原方程可化为$(m+1)(m+3)=8$,
即$m^{2}+4m-5=0$,
因式分解，得$(m+5)(m-1)=0$,
解得$m_{1}=-5$(舍去),$m_{2}=1$,
$\therefore x^{2}+y^{2}$的值为1.