《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程$x^{2}= 4$的根是(D)
A.$x= 2$
B.$x= -2$
C.$x= 0$
D.$x= 2或x= -2$

答案： D

2. 一元二次方程$25x^{2}-1= 0$的根是(C)
A.$x_{1}= x_{2}= 5$
B.$x_{1}= 5,x_{2}= -5$
C.$x_{1}= \frac {1}{5},x_{2}= -\frac {1}{5}$
D.$x_{1}= x_{2}= \frac {1}{5}$

答案： C

3. 已知关于x的方程$x^{2}= p$.
(1)当p＞0时,方程有两个不等的实数根;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当p＜0时,方程无实数根.

答案：
(1)＞
(2)=
(3)＜

4. 若一元二次方程$4x^{2}-9= 0$的根分别是a,b,且$a\lt b$,则a的值为$-\frac{3}{2}$.

答案： $-\frac{3}{2}$

5. 用直接开平方法解下列方程:
(1)$9x^{2}-25= 0;$
(2)$3x^{2}-1= 26;$
(3)$49x^{2}-7= 1;$
(4)$24y^{2}+10= 7.$

答案： 解：
(1)$x_{1}=\frac{5}{3},x_{2}=-\frac{5}{3}$.
(2)$x_{1}=3,x_{2}=-3$.
(3)$x_{1}=\frac{2\sqrt{2}}{7},x_{2}=-\frac{2\sqrt{2}}{7}$.

6. 一元二次方程$(x+6)^{2}= 9$可以转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程为$x+6= 3$,则另一个一元一次方程为(D)
A.$x-6= 3$
B.$x+6= -9$
C.$x+6= 9$
D.$x+6= -3$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的直接开平方法。
给定方程为 $(x + 6)^{2} = 9$，根据平方根的性质，我们可以得到两个一元一次方程。
已知其中一个方程为 $x + 6 = 3$，这是由 $9$ 的正平方根得到的。
同时，我们还需要考虑 $9$ 的负平方根，即 $-3$，从而得到另一个方程 $x + 6 = -3$。
【答案】：
D. $x + 6 = -3$

7. 如果关于x的方程$(x-3)^{2}= m+7$可以用直接开平方法求解,那么m的取值范围是(D)
A.$m＞3$
B.$m≥3$
C.$m＞-7$
D.$m≥-7$

答案： 【解析】：
首先，我们考虑方程$(x-3)^{2} = m+7$。
由于方程左边是一个平方项，即$(x-3)^{2}$，其值必然是非负的。
因此，为了使方程有实数解，方程右边$m+7$也必须是非负的。
即，我们需要满足条件：
$m + 7 \geq 0$
解这个不等式，我们得到：
$m \geq -7$
【答案】：
D. $m \geq -7$。

8. 用直接开平方法解一元二次方程$\frac {1}{4}(x-1)^{2}= 9$的步骤如下:
①$(x-1)^{2}= 36$,②$x-1= 6$,③$x= 7.$
其中开始出现错误的步骤是②.(填序号)

答案： 【解析】：
首先，我们分析题目中的一元二次方程 $\frac {1}{4}(x-1)^{2}= 9$。
第一步，将方程两边同时乘以4，得到 $(x-1)^{2} = 36$，这一步是正确的，与题目给出的第一步一致。
第二步，根据平方根的性质，若 $a^2 = b$，则 $a = \pm \sqrt{b}$。所以，从 $(x-1)^{2} = 36$ 应该得到 $x-1 = \pm 6$。但题目中给出的第二步只考虑了正根，即 $x-1 = 6$，忽略了负根 $x-1 = -6$，因此这一步是错误的。
第三步，如果第二步正确，我们会得到两个解，分别是 $x = 7$ 和 $x = -5$。但题目中给出的第三步只给出了一个解 $x = 7$，由于第二步的错误，这一步也是基于错误的前提得出的。
综上，开始出现错误的步骤是第二步，即 $x-1= 6$ 这一步。
【答案】：
②

9. 新视角 结论开放题 若关于x的一元二次方程$(x+3)^{2}= c$有实数根,则c的值可以为0(写出一个即可).

答案： 解：因为关于$x$的一元二次方程$(x + 3)^2 = c$有实数根，而一个数的平方是非负数，所以$c \geq 0$。则$c$的值可以为$0$（答案不唯一，只要$c \geq 0$即可）。
$0$

10. 解下列方程:
(1)[2024无锡中考]$(x-2)^{2}-4= 0;$
(2)$2(x+3)^{2}-10= 0;$
(3)$(2x-1)^{2}= 49.$

答案： 【解析】：
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识点。
对于形如$(ax+b)^{2}=c$的方程，可以直接开平方来求解。
(1) 对于方程 $(x-2)^{2}-4= 0$，可以先移项，然后直接开平方求解。
(2) 对于方程 $2(x+3)^{2}-10= 0$，可以先将方程化为 $(x+3)^{2}=5$ 的形式，然后直接开平方求解。
(3) 对于方程 $(2x-1)^{2}= 49$，可以直接开平方，得到两个一元一次方程，然后分别求解。
【答案】：
(1) 解：
原方程为 $(x-2)^{2}-4= 0$，
移项得 $(x-2)^{2}= 4$，
开平方得 $x-2= \pm 2$，
解得 $x_{1}= 4$，$x_{2}= 0$。
(2) 解：
原方程为 $2(x+3)^{2}-10= 0$，
移项并化简得 $(x+3)^{2}= 5$，
开平方得 $x+3= \pm \sqrt{5}$，
解得 $x_{1}= -3+\sqrt{5}$，$x_{2}= -3-\sqrt{5}$。
(3) 解：
原方程为 $(2x-1)^{2}= 49$，
开平方得 $2x-1= \pm 7$，
分别解得 $x_{1}= 4$，$x_{2}= -3$。