《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

10. 在解方程$(x + 2)(x - 2) = 5$时,甲同学的做法:由于$5 = 1×5$,可令$x + 2 = 1,x - 2 = 5$,得方程的根$x_1 = - 1,x_2 = 7$;乙同学的做法:把方程右边化为0,得$x^2 - 9 = 0$.再分解因式,即$(x + 3)(x - 3) = 0$,得方程的根为$x_1 = - 3,x_2 = 3$.对于甲、乙两名同学的做法,下列判断正确的是(A)
A.甲错误,乙正确
B.甲正确,乙错误
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都错误

答案： A

11. 若三角形的两边长分别为5和4,第三边的长是方程$x^2 - 7x = 9(x - 7)$的根,则此三角形的周长为(A)
A.16
B.18
C.15或17
D.16或18

答案： A

12. 新视角 游戏活动型 老师设计了一个接力游戏,用合作的方式解一元二次方程,规则是:每人只能看到前一人计算的结果,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后得到方程的解.过程如图所示,接力中,自己负责的一步出现错误的是甲.

答案： 甲

13. 用因式分解法解方程:
(1)$3(2x - 3)^2 - 2(2x - 3) = 0$;
(2)$2(x - 3)^2 = x^2 - 9$;
(3)$9(x + 2)^2 = 16(2x - 5)^2$.

答案：
(1)因式分解,得$(2x-3)[3(2x-3)-2]=0$,即$(2x-3)(6x-11)=0$,于是$2x-3=0$或$6x-11=0$,解得$x_{1}=\frac{3}{2}$,$x_{2}=\frac{11}{6}$.
(2)移项,得$2(x-3)^{2}-(x^{2}-9)=0$,因式分解,得$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$,即$(x-3)(x-9)=0$,于是$x-3=0$或$x-9=0$,解得$x_{1}=3$,$x_{2}=9$.
(3)移项,得$9(x+2)^{2}-16(2x-5)^{2}=0$,因式分解,得$[3(x+2)+4(2x-5)]\cdot [3(x+2)-4(2x-5)]=0$,即$(11x-14)(-5x+26)=0$,于是$11x-14=0$或$-5x+26=0$,解得$x_{1}=\frac{14}{11}$,$x_{2}=\frac{26}{5}$.

14. [教材$P_{14}练习T_2$变式]如图,把小圆形场地的半径增加6m得到大圆形场地,大圆形场地的面积是小圆形场地面积的2倍.求小圆形场地的半径.

答案： 解：设小圆形场地的半径为$r\ \text{m}$,则大圆形场地的半径为$(r+6)\ \text{m}$,由题意,得$\pi(r+6)^{2}=2\pi r^{2}$,解得$r_{1}=6+6\sqrt{2}$,$r_{2}=6-6\sqrt{2}$(舍去).答:小圆形场地的半径为$(6+6\sqrt{2})\ \text{m}$.

例：(1)将 $2x^{2}-3x - 2$ 进行因式分解,我们可以按下面的方法解答：
解：①竖分二次项与常数项：$2x^{2}= x\cdot 2x$,$-2= (-2)× 1$。
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果必须等于多项式中的一次项)：

③横向写出两因式：$2x^{2}-3x - 2= (x - 2)(2x + 1)$。
我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法。
(2)根据乘法原理：若 $ab = 0$,则 $a = 0$ 或 $b = 0$。试用上述方法和原理解下列方程：
①$x^{2}-3x + 2 = 0$； ②$x^{2}-x - 6 = 0$；
③$2x^{2}+x - 6 = 0$； ④$3x^{2}-2x - 1 = 0$。

答案： ①(x-1)(x-2)=0,
∴x-1=0 或 x-2=0,
∴x₁=1,x₂=2.②(x-3)(x+2)=0,
∴x-3=0 或 x+2=0,
∴x₁=3,x₂=-2.③(x+2)(2x-3)=0,
∴x+2=0 或2x-3=0,
∴x₁=-2,x₂=$\frac{3}{2.}$④(x-1)(3x+1)=0,
∴x-1=0 或3x+1=0,
∴x₁=1,x₂=$\frac{-1}{3.}$