《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. [教材$P_{9}练习T_{1}$变式]用适当的数填空：
(1)$x^{2}+2x+1= (x+$1$)^{2}$；
(2)$x^{2}-10x+$25$=(x-$5$)^{2}$；
(3)$x^{2}+7x+$$\frac{49}{4}$$=(x+$$\frac{7}{2}$$)^{2}$；
(4)$x^{2}-\frac {2}{5}x+$$\frac{1}{25}$$=(x-$$\frac{1}{5}$$)^{2}$。

答案： 1.
(1)1
(2)25;5
(3)$\frac{49}{4}$;$\frac{7}{2}$
(4)$\frac{1}{25}$;$\frac{1}{5}$

2. [2024德州中考]把多项式$x^{2}-3x+4$进行配方,结果为(B)
A.$(x-3)^{2}-5$
B.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$
C.$(x-\frac {3}{2})^{2}+\frac {25}{4}$
D.$(x+\frac {3}{2})^{2}+\frac {7}{4}$

答案： B

3. [2025重庆秀山区月考]用配方法解方程$x^{2}-4x= 6$时,应该把方程两边同时(C)
A.加2
B.减2
C.加4
D.减4

答案： C

4. 用配方法解方程$x^{2}+10x+7= 0$时,配方后正确的是(D)
A.$(x+5)^{2}= 17$
B.$(x+5)^{2}= 3$
C.$(x+5)^{2}= 32$
D.$(x+5)^{2}= 18$

答案： D

5. 用配方法解方程$y^{2}-y= \frac {3}{4}$,若配方后的结果为$(y-m)^{2}= n$,则n的值为(A)
A.1
B.$\frac {3}{4}$
C.$\frac {1}{2}$
D.$\frac {1}{4}$

答案： A

6. 用配方法解方程：$x^{2}-5x-1= 0$。
解：移项,得$x^{2}-5x= 1$,
两边同时加上$\left(\frac{5}{2}\right)^2$,得$x^{2}-5x+$$\left(\frac{5}{2}\right)^2$$=1+$$\left(\frac{5}{2}\right)^2$,即$(x-$$\frac{5}{2}$$)^{2}= $$\frac{29}{4}$,
开平方,得$x-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$,
解得$x_{1}= $$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$,$x_{2}= $$\frac{5-\sqrt{29}}{2}$。

答案： 6.$\left(\frac{5}{2}\right)^2$;$\left(\frac{5}{2}\right)^2$;$\left(\frac{5}{2}\right)^2$;$\frac{5}{2}$;$\frac{29}{4}$;$x-$$\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{29}}{2}$;$\frac{5+\sqrt{29}}{2}$;$\frac{5-\sqrt{29}}{2}$

7. 解方程：
(1)[2024徐州中考]$x^{2}+2x-1= 0$；
(2)$x^{2}+3x-4= 0$；
(3)$x^{2}-\frac {2}{3}x+\frac {1}{3}= 0$。

答案： 1. （1）解：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}+2x - 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 2$，$c=-1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(2)^{2}-4×1×(-1)=4 + 4=8$。
再代入求根公式：$x=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$。
所以$x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1 - \sqrt{2}$。
2. （2）解：
对于方程$x^{2}+3x - 4 = 0$，其中$a = 1$，$b = 3$，$c=-4$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(3)^{2}-4×1×(-4)=9 + 16=25$。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}$。
当$x=\frac{-3 + 5}{2}$时，$x_{1}=1$；当$x=\frac{-3-5}{2}$时，$x_{2}=-4$。
3. （3）解：
对于方程$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}=0$，其中$a = 1$，$b=-\frac{2}{3}$，$c=\frac{1}{3}$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}-4×1×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}-\frac{4}{3}=\frac{4 - 12}{9}=-\frac{8}{9}\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
综上，（1）$x_{1}=-1+\sqrt{2}$，$x_{2}=-1 - \sqrt{2}$；（2）$x_{1}=1$，$x_{2}=-4$；（3）无实数根。

8. 把方程$2x^{2}+4x+3= 0$的二次项系数化为1,可得(C)
A.$x^{2}+2x+3= 0$
B.$x^{2}+2x-3= 0$
C.$x^{2}+2x+\frac {3}{2}= 0$
D.$x^{2}+2x-\frac {3}{2}= 0$

答案： C

9. 用配方法解方程$3x^{2}+4x+1= 0$时,可以将方程化为(A)
A.$(x+\frac {2}{3})^{2}= \frac {1}{9}$
B.$(x+2)^{2}= 3$
C.$(x+\frac {2}{3})^{2}= \frac {1}{3}$
D.$(3x+\frac {2}{3})^{2}= \frac {1}{9}$

答案： A

10. 下列用配方法解方程$\frac {1}{2}x^{2}-x-2= 0$的四个步骤中,出现错误的是(D)
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： D

11. 解方程：
(1)$4x^{2}-8x= -3$；
(2)$2x^{2}+6x-3= 0$；
(3)$2x^{2}-8x+9= 0$；
(4)$\frac {1}{2}x^{2}-2x-5= 2x-3$。

答案： $(1)$ 解方程$4x^{2}-8x = -3$
解：
将方程化为一般形式：$4x^{2}-8x + 3 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 4$，$b = -8$，$c = 3$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
$\Delta=(-8)^{2}-4×4×3$
$=64 - 48$
$=16$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2×4}=\frac{8\pm4}{8}$。
当取$+$时，$x_{1}=\frac{8 + 4}{8}=\frac{3}{2}$；
当取$-$时，$x_{2}=\frac{8 - 4}{8}=\frac{1}{2}$。
$(2)$ 解方程$2x^{2}+6x - 3 = 0$
解：
对于方程$2x^{2}+6x - 3 = 0$（$a = 2$，$b = 6$，$c = -3$），
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4×2×(-3)$
$=36+24$
$=60$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2×2}=\frac{-6\pm2\sqrt{15}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}$。
即$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{15}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$。
$(3)$ 解方程$2x^{2}-8x + 9 = 0$
解：
对于方程$2x^{2}-8x + 9 = 0$（$a = 2$，$b = -8$，$c = 9$），
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×2×9$
$=64 - 72$
$=-8\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
$(4)$ 解方程$\frac{1}{2}x^{2}-2x - 5 = 2x - 3$
解：
先化为一般形式：$\frac{1}{2}x^{2}-4x - 2 = 0$，两边同乘$2$得$x^{2}-8x - 4 = 0$（$a = 1$，$b = -8$，$c = -4$）。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×(-4)$
$=64 + 16$
$=80$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{80}}{2}=\frac{8\pm4\sqrt{5}}{2}=4\pm2\sqrt{5}$。
即$x_{1}=4 + 2\sqrt{5}$，$x_{2}=4 - 2\sqrt{5}$。
综上，$(1)$ $x_{1}=\boldsymbol{\frac{3}{2}}$，$x_{2}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；$(2)$ $x_{1}=\boldsymbol{\frac{-3+\sqrt{15}}{2}}$，$x_{2}=\boldsymbol{\frac{-3-\sqrt{15}}{2}}$；$(3)$ 无实数根；$(4)$ $x_{1}=\boldsymbol{4 + 2\sqrt{5}}$，$x_{2}=\boldsymbol{4 - 2\sqrt{5}}$。