《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

5. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= -x^{2}-4x+c与x轴交于点A$,$B$(点$A在点B$的左侧),与$y轴交于点C$,且点$A的坐标为(-5,0)$。
(1)求点$C$的坐标。
(2)若点$M$是抛物线上一点,点$N$是抛物线对称轴上一点,是否存在点$M使以A$,$C$,$M$,$N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 5. 解：
(1)
∵点A(-5,0)在抛物线y=-x²-4x+c上，
∴0=-(-5)²-4×(-5)+c,
解得c=5，
∴点C的坐标为(0,5).
(2)存在.
∵y=-x²-4x+5=-(x+2)²+9，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
设点N的坐标为(-2,m)，点M的坐标为(x,-x²-4x+5)，
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，则-5=x-2，解得x=-3，
∴点M的坐标为(-3,8).
②当AM为平行四边形对角线时，
则x-5=-2，解得x=3，
∴点M的坐标为(3,-16).
③当AN为平行四边形对角线时，
则-5-2=x，解得x=-7.
∴点M的坐标为(-7,-16).
综上，点M的坐标为(-3,8)或(3,-16)或(-7,-16).

6. [2024泸州中考]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y= ax^{2}+bx+3经过点A(3,0)$,与$y轴交于点B$,且关于直线$x= 1$对称。
(1)求该抛物线的解析式。
(2)当$-1\leqslant x\leqslant t$时,$y的取值范围是0\leqslant y\leqslant 2t-1$,求$t$的值。
(3)点$C$是抛物线上位于第一象限的一个动点,过点$C作x轴的垂线交直线AB于点D$,在$y轴上是否存在点E$,使得以$B$,$C$,$D$,$E$为顶点的四边形是菱形？若存在,求出该菱形的边长；若不存在,说明理由。

答案： 6. 解：
(1)
∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A(3,0)，且关于直线x=1对称，
∴{-b/(2a)=1,9a+3b+3=0,解得{a=-1,b=2,
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3.
(2)
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，
①若-1≤t≤1，则当x=t时，函数有最大值，
即2t-1=-t²+2t+3，解得t=-2或t=2，均不符合题意，舍去；
②若t＞1，则当x=1时，函数有最大值，即2t-1=-1²+2+3=4，解得t=5/2.
∴t的值为5/2.
(3)存在.当x=0时，y=3，
∴B(0,3).
设直线AB的解析式为y=kx+n，
把点A(3,0)，B(0,3)的坐标分别代入，得{3k+n=0,n=3,解得{k=-1,n=3,
∴直线AB的解析式为y=-x+3.
连接BC，设C(m,-m²+2m+3)，其中0＜m＜3，
则D(m,-m+3)，BC²=m²+(-m²+2m)²，
∴CD=-m²+2m+3-(-m+3)=-m²+3m，
BD=√[m²+(-m+3-3)²]=√2m，
当以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当BD为边时，CD=BD，即-m²+3m=√2m，
解得m=0(舍去)或m=3-√2，
此时菱形的边长为√2m=3√2-2；
②当BD为对角线时，BC=CD，
则m²+(-m²+2m)²=(-m²+3m)²，
解得m=2或m=0(舍去)，
此时菱形的边长为-m²+3m=2.
综上所述，菱形的边长为3√2-2或2.