《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

17. 新考向传统文化[2024河北中考]扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为$S_{n}$,若$m= \frac{S_{n}}{S}$,则m与n关系的图象大致是( )C
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答案： C

18. 某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为(C)
A.700π平方厘米
B.900π平方厘米
C.1200π平方厘米
D.1600π平方厘米

答案： C

19. [2024江西中考]如图,AB是半圆O的直径,点D是弦AC延长线上一点,连接BD,BC,∠D= ∠ABC= 60°.
(1)求证：BD是半圆O的切线；
(2)当BC= 3时,求$\overset{\frown}{AC}$的长.
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答案：
(1)证明：
∵AB 是半圆 O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠D=∠ABC=60°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=30°，
∴∠ABD=180°-∠CAB-∠D=90°，即 BD⊥OB，
又
∵OB 是半圆 O 的半径，
∴BD 是半圆 O 的切线.
(2)解：连接 OC，
∵OC=OB，∠CBA=60°，
∴△OCB 为等边三角形，
∴∠COB=60°，OC=CB=3，
∴∠AOC=180°-∠COB=120°，
∴$\widehat{AC}$的长为$\frac{120}{180}×\pi×3$=2π.

20. 已知△ABC的边BC的长为$4\sqrt{2}$cm,且△ABC内接于半径为4cm的⊙O,求∠A的度数.

答案：
解：分两种情况：
①当∠A 是锐角时，连接 OB，OC，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，如图所示，则∠ODB=90°，
又
∵OB=OC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$cm，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC.
在 Rt△BOD 中，OB=4cm，OB²=OD²+BD²，
∴4²=OD²+(2$\sqrt{2}$)²，
∴OD=2$\sqrt{2}$cm(负值已舍去).
∴BD=OD.
∴∠BOD=45°.
∴∠BOC=90°.
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°;
②当∠A 是钝角时，易知∠A=180°-45°=135°.
综上所述，∠A 的度数为 45°或 135°.

21. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,延长EC,AB交于点F,∠ECD= ∠BCF.
(1)求证：CE为⊙O的切线；
(2)若DE= 1,CD= 3,求⊙O的半径.
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答案：

(1)证明：如图，连接 OC.
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC.
∵四边形 ABCD 内接于$\odot O$，
∴易得∠CDE=∠OBC.
∴∠CDE=∠OCB.
∵CE⊥AD，
∴∠CDE+∠ECD=90°.
又
∵∠ECD=∠BCF，
∴∠OCB+∠BCF=90°，
即∠OCF=90°，
∴OC⊥EF．
∵OC 是$\odot O$的半径，
∴CE 为$\odot O$的切线.
(2)解:如图,过点 O 作 OG⊥AE 于点 G,连接 OD,则∠OGE=90°.
又
∵CE⊥AE,OC⊥EF,
∴易得四边形 OGEC 是矩形.
∴OC=EG,OG=EC.
设$\odot O$的半径为 x,则 EG=OC=OD=x,
∵DE=1,
∴GD=x - 1.
在 Rt△CDE 中,CD=3,
∴EC=$\sqrt{3^2-1^2}$=2$\sqrt{2}$.
∴OG=2$\sqrt{2}$.
在 Rt△OGD 中,由勾股定理得 OD²=OG²+DG²,即 x²=(2$\sqrt{2}$)²+(x - 1)²,解得 x=4.5.
∴$\odot O$的半径是 4.5.