《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,抛物线$y= -x^{2}+bx+c过点A(-1,0)$,$B(3,0)$,与$y轴交于点C$。
(1)求抛物线的解析式。
(2)点$P$为抛物线对称轴上一动点,当$\triangle PCB是以BC$为底边的等腰三角形时,求点$P$的坐标。
(3)在(2)的条件下,是否存在点$M$为抛物线第一象限上的点,使得$S_{\triangle BCM}= S_{\triangle BCP}$？若存在,求出点$M$的横坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 1. 解：
(1)由题意得y=-(x+1)(x-3)，
∴y=-x²+2x+3.
(2)易知抛物线的对称轴为直线x=1.
对于y=-x²+2x+3，令x=0，则y=3，
∴C(0,3).
设P(1,m).
∵PB=PC，
∴PB²=PC².
∴(3-1)²+m²=1²+(m-3)²，
解得m=1.
∴P(1,1).
(3)存在.假设存在点M满足条件，过点P作PQ//BC，交y轴于点Q，过点M作MN//BC，交y轴于点N.
设直线BC的解析式为y=kx+n，将点B(3,0)，点C(0,3)的坐标分别代入，得{3k+n=0,n=3,解得{k=-1,n=3,
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
又
∵P(1,1)，PQ//BC，
∴易得直线PQ的解析式为y=-x+2.
∴Q(0,2).
∵C(0,3)，S△BCM=S△BCP，
∴易得N(0,4).
∴直线MN的解析式为y=-x+4.
∴-x²+2x+3=-x+4，解得x=3±√5/2，
∴点M的横坐标为3+√5/2或3-√5/2.

2. 如图①,抛物线$y= x^{2}+bx+c与x轴交于点A(-1,0)$,$B$,与$y轴交于点C$,且$CO= 3AO$,连接$AC$。
(1)求抛物线的解析式。
(2)如图②,若点$M是直线BC$下方抛物线上一动点(不与点$B$,$C$重合),是否存在$\triangle BCM$,使$\angle BCM= 90^{\circ}$？若存在,请求出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 2. 解：
(1)
∵A(-1,0)，
∴OA=1.
∵CO=3AO，
∴CO=3，
∴C(0,-3)，
将A(-1,0)，C(0,-3)的坐标分别代入y=x²+bx+c，
得{1-b+c=0,c=-3,解得{b=-2,c=-3,
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3.
(2)存在△BCM，使∠BCM=90°.
当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x=3或x=-1，
∴B(3,0)，
∴BC=3√2.
设M(m,m²-2m-3)，
则CM=√[m²+(m²-2m)²]，
BM=√[(m-3)²+(m²-2m-3)²].
当∠BCM=90°时，BM²=BC²+CM²，
即(√[(m-3)²+(m²-2m-3)²])²=(√[m²+(m²-2m)²])²+(3√2)²，
解得m=0(舍去)或m=1，
∴M(1,-4).