《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 已知$\triangle ABC与\triangle CDE$都是等边三角形,连接$AD$,$BE$.
(1)如图①,当点$B$,$C$,$D$在同一条直线上时,$\angle BCE = $120$^{\circ}$；
(2)将图①中的$\triangle ECD绕着点C$逆时针旋转到如图②的位置,求证：$AD = BE$.

证明:
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.
在△BCE与△ACD中，{BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD}，
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴AD=BE.

答案： 1.
(1)120
(2)证明:
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.
在△BCE与△ACD中，{BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD}，
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴AD=BE.

2. 有公共顶点的等腰直角三角形$ACB与等腰直角三角形ADE$按如图①所示的方式放置,$\angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AD = AE$,点$D在AC$上,点$E在BA$的延长线上,连接$BD$,$CE$.
(1)【观察猜想】
$BD与CE$之间的数量关系是______；位置关系是______.
(2)【探究证明】
将等腰直角三角形$ADE绕点A$逆时针旋转,如图②所示,使点$C$,$D$,$E$在同一条直线上,$BD交AC于点H$.$BD与CE$之间的关系是否仍然成立？请说明理由.

答案：
2.解:
(1)BD=CE;BD⊥CE
(2)仍然成立，理由如下:如图，
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.又
∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE,∠1=∠2.
又
∵∠AHB=∠DHC,
∴∠BAH=∠HDC=90°,
∴BD⊥CE.